¿Podemos encontrar $n$ tal que $p|2^n-1$ para un primo dado $p.$

Question

Para un primo dado $p$ ¿podemos encontrar un número entero positivo $n$ tal que $p$ es un divisor de $2^n-1.$
Lo sé, elegir un gran $n$ podemos hacerlo. ¿Pero hay alguna prueba para esto? No tengo idea para empezar una prueba. Una pista sería mejor. Gracias.

Answer 1

Como pista, ¿cuántos restos diferentes puedes obtener si divides $2^n$ por $p$ ?

Answer 2

Se trata de una sencilla aplicación del pequeño teorema de Fermat. Digamos que el primo dado es impar, es decir, $p \neq 2$ Por lo tanto $\gcd(2, p) = 1$ . Del pequeño teorema de Fermat se deduce que $n = p - 1$ tiene la propiedad deseada.

Para estar seguro, calcula tres o cuatro ejemplos a mano o con una calculadora. Yo haré uno por ti: $p = 13$ Así que $n = p - 1 = 12$ entonces vemos que $$\frac{2^{12} - 1}{13} = 315.$$