% Infinitamente diferenciable $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$tales que para cada $n \geq 0$, $f^{(n)}(x)=0$ si y sólo si $x=0$

Question

Estoy buscando una función $f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ que cumpla con estas propiedades:

i) $f$ es infinitamente diferenciable.

II) $f$ y todos sus derivados deben intersectarse los ejes $x$ sólo en el origen.

Answer 1

Si no me equivoco, esa función no existe.

a) Tenemos $f(x)\not =0$$I=]0,+\infty[$. Podemos suponer que $f(x)>0$; si no, reemplace$f$$-f$.

b) sabemos que el $f^{(n)}(x)\not =0$$]0,+\infty[$. De ahí que haya una constante señal en $I$; el de Taylor-Lagrange fórmula en $0$ $\displaystyle f(x)=\frac{x^n}{n!}f^{(n)}(c)$ algunos $c\in (0,x)$, y muestran que la $f^{(n)}(x)>0$ todos los $n$ $x$ $I$ (y de todos los $f^{(n)}$ están aumentando en $I$).

c) utilizamos el Taylor-Lagrange Fórmula para $2$ en el punto de $1$; podemos $$f(2)=\sum_{j=0}^k \frac{f^{(j)}(1)}{j!}+\frac{f^{(k+1)}(c)}{(k+1)!}$$ para algunos $c\in (0,2)$. Como todos los términos son positivos, tenemos $\displaystyle \frac{f^{(k)}(1)}{k!}\leq f(2)$ todos los $k$.

d) Deje $x\in (0,1)$. Tenemos un $c\in (0,x)$ $$f(x)=\frac{x^n}{n!}f^{(n)}(c)\leq \frac{x^n}{n!}f^{(n)}(1) \leq x^nf(2)$$ Y podemos ver fácilmente que esto nos lleva a una contradicción si $n\to +\infty$.