Encontrar una matriz definida positiva con $a_{1,1}<0$

Question

<blockquote> <p>Encontrar una matriz $A=[a_{i,j}]$ tal que $A$el % es positiva definida y $a_{1,1}<0$.</p> </blockquote> <p>No es fácil. En mi opinión, no hay ningún tal matriz si la dimensión de la matriz es.</p>

Answer 1

Si $x = \left(\begin{matrix} x_1 \ \vdots \ xn \end{matrix}\right)$, entonces %#% $ de #% en particular, $$x^TAx = \sum\limits{i,j=1}^{n}{a_{ij}x_ix_j}.$, tenemos $x = e_1 = \left(\begin{matrix} 1 \ 0 \ \vdots \ 0 \end{matrix}\right)$ $ si es positiva definida, entonces $$ e_1^TAe1 = a{11}.$ es positiva, y por lo tanto debe ser positivo $A$ $e_1^TAe_1$.

Answer 2

Utilizando el criterio de Sylvester, diciendo que $\mathrm A \succ \mathrm O$ es equivalente a decir que todos los menores principales principales de $\mathrm A$ son positivos. Tenga en cuenta que $a{11}$ es $1 \times 1$ principal menor. Así, $a{11} > 0$.

Por lo tanto, no puede ser positiva una matriz $\mathrm A$ $a_{11}