¿Por qué es $\arctan(x)=x-x^3/3+x^5/5-x^7/7+\dots$?
Puede alguien que me señale una prueba, o explicar si se trata de una simple respuesta?
Lo que estoy buscando es el punto donde se hace entendido que las funciones trigonométricas y pi puede ser expresado de la serie. Mucha de la información que puedo encontrar cuando se busca que parece a punto de regresar a la arctan.
La derivada de la arco tangente es $$\frac{d}{dx}\arctan(x) = \frac{1}{1+x^2}.$$
A partir de la fórmula de la serie geométrica (véase, por ejemplo, esta respuesta para una prueba) muestra que $$1+y+y^2+y^3+\cdots = \frac{1}{1-y}\qquad\text{if }|y|\lt 1.$$ Conectar $-x^2$$y$, obtenemos que $$\begin{align*} \frac{1}{1+x^2} &= \frac{1}{1-(-x^2)} \\ &= 1 + (-x^2) + (-x^2)^2 + (-x^2)^3 + \cdots + (-x^2)^n + \cdots\\ &= 1 - x^2 + x^4 - x^6 + x^8 - x^{10} + \cdots \end{align*}$$ siempre que $|-x^2| \lt 1$; es decir,$|x|\lt 1$. Todos los cálculos a continuación se realiza bajo esta hipótesis (ver comentarios al final).
Así tenemos que: $$\frac{d}{dx}\arctan(x) = 1 - x^2 + x^4 - x^6 + x^8 - x^{10}+\cdots\qquad\text{if }|x|\lt 1$$ Porque esta es una serie de Taylor, se puede integrar término a término. Es decir, hasta una constante, tenemos: $$\begin{align*} \arctan(x) &= \int\left(\frac{d}{dx}\arctan (x)\right)\,dx \\ &= \int\left(1 - x^2 + x^4 - x^6 + x^8 - x^{10}+\cdots\right)\,dx\\ &= \int\left(\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}x^{2n}\right)\,dx\\ &= \sum_{n=0}^{\infty}\left(\int (-1)^{n}x^{2n}\,dx\right)\\ &= \sum_{n=0}^{\infty}\left((-1)^{n}\int x^{2n}\,dx\right)\\ &= \sum_{n=0}^{\infty}\left((-1)^{n}\frac{x^{2n+1}}{2n+1}\right) + C\\ &= C + \left( x - \frac{x^3}{3} + \frac{x^5}{5} - \frac{x^7}{7} + \frac{x^9}{9} - \frac{x^{11}}{11} +\cdots\right). \end{align*}$$ La evaluación en $x=0$ da $0 = \arctan(0) = C$, por lo que tenemos $$\arctan(x) = x - \frac{x^3}{3} + \frac{x^5}{5} - \frac{x^7}{7} + \frac{x^9}{9} - \frac{x^{11}}{11} + \cdots,\qquad\text{if }|x|\lt 1.$$ la igualdad de preguntar acerca de.
Tenga en cuenta que esto no se cumple para todos los $x$: ciertamente funciona si $|x|\lt 1$, por las propiedades generales de la serie de Taylor. Pero el arco tangente está definida para todos los números reales. La serie que tenemos aquí es $$\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\frac{x^{2n+1}}{2n+1}.$$ El uso de la Prueba de razón, tenemos que $$\begin{align*} \lim_{n\to\infty}\frac{|a_{n+1}|}{|a_n|} &= \lim_{n\to\infty}\frac{\quad\frac{|x|^{2n+3}}{2n+3}\quad}{\frac{|x|^{2n+1}}{2n+1}}\\ &= \lim_{n\to\infty}\frac{(2n+1)|x|^{2n+3}}{(2n+3)|x|^{2n+1}}\\ &= \lim_{n\to\infty}\frac{|x|^2(2n+1)}{2n+3}\\ &= |x|^2\lim_{n\to\infty}\frac{2n+1}{2n+3}\\ &= |x|^2. \end{align*}$$ Por el Test del Cociente, la serie converge absolutamente si $|x|^2\lt 1$ (es decir, si $|x|\lt 1$) y diverge si $|x|\gt 1$. En$x=1$$x=-1$, la serie se sabe que convergen. De modo que el radio de convergencia es $1$, y la igualdad es válida para $x\in [-1,1]$ (es decir, si $|x|\leq 1$; hemos ganado dos puntos en el proceso).
Sin embargo, el arco tangente tiene una bonita propiedad, a saber, que $$\arctan\left(\frac{1}{x}\right) = \frac{\pi}{2} - \arctan(x),$$ Así, dado un valor de $x$$|x|\gt 1$, puede utilizar esta identidad para calcular $\arctan(x)$ mediante el cálculo de $\arctan(\frac{1}{x})$, y para este argumento de la serie es válido.
Bien la forma habitual de conseguir esta serie representación de la $\arctan$ es el uso de la serie geométrica
$$\sum_{n=0}^{\infty} x^n = \frac{1}{1 - x}$$
y, a continuación, sustituya $-x^2$ que en él se
$$\sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n x^{2n} = \frac{1}{1 + x^2}$$
Ahora el siguiente paso es integrar ambos lados y, a continuación, obtener
$$\arctan{x} = \int \frac{1}{1 + x^2} \, dx = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac{x^{2n + 1} }{2n + 1} + C$$
y usted puede fácilmente demostrar que la constante de $C = 0$. Usted puede encontrar esta hecho en casi cualquier libro de cálculo, es uno de los clásicos de la serie que la mayoría de cálculo que los estudiantes deben saber, supongo.
Deje $f(x)=\arctan(x)$. A continuación,$f'(x)=\frac{1}{1+x^2}$$f(0)=0$, de modo que por el teorema fundamental del cálculo, $f(x)=\int_0^x\frac{dt}{1+t^2}$ todos los $x$. Al $|t|<1$, el integrando puede ser expresada como una serie geométrica $\frac{1}{1+t^2}=1-t^2+t^4-t^6+t^8-\cdots$. Esta serie converge uniformemente en compactos de subintervalos de $(-1,1)$, por lo que al $|x|<1$ podemos integrar término a término para obtener $$f(x)=\int_0^x 1-t^2+t^4-t^6+\cdots dt= x-\frac{x^3}{3}+\frac{x^5}{5}-\frac{x^7}{7}+\cdots.$$
(Adrián Barquero publicado, mientras yo estaba escribiendo.)
Aquí es una manera de ver que $f'(x)=\frac{1}{1+x^2}$. Por definición de $\arctan$, $\tan(f(x))=x$ para todos los $x$. Tomando la derivada de ambos lados, usando la regla de la cadena en el lado izquierdo, los rendimientos de la $\tan'(f(x))\cdot f'(x)=1$. Ahora $\tan'=\sec^2=1+\tan^2$, lo $(1+\tan^2(f(x)))\cdot f'(x)=1\Rightarrow (1+x^2)f'(x)=1\Rightarrow f'(x)=\frac{1}{1+x^2}.$
Un método similar da el poder de expansión de la serie de $g(x)=\arcsin(x)$. Ha $g'(x)=(1-x^2)^{-1/2}$$g(0)=0$, de modo que por el teorema fundamental del cálculo, $g(x)=\int_0^x(1-t^2)^{-1/2}dt$ todos los $x$$|x|<1$. El integrando se puede ampliar usando el teorema del binomio integrado y plazo por el término de obtener el poder de la serie.
Muchas de las funciones que se encuentran sobre una base regular son funciones analíticas, lo que significa que puede ser escrito como una serie de Taylor o la expansión de Taylor. Una serie de Taylor de $f(x)$ es una serie infinita de la forma $\sum_{i=0}^\infty a_ix^i$ que satisface $f(x) = \sum_{i=0}^\infty a_ix^i$ donde la serie converge. Las funciones trigonométricas son ejemplos de funciones analíticas, y la serie que usted está preguntando acerca de la serie de Taylor de $\operatorname{arctan}(x)$ $0$ (el significado de esto es explicado en el enlace). Usted puede leer más acerca de la serie de Taylor aquí.
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