¿$(\sin{x})(\sin{\pi x})$ Es periódica?

Question

Me pregunto, es la función de $f=(\sin{x})(\sin{\pi x})$ es periódica?

Mi primer impulso sería de dos suponer que si los períodos de la persona sine expresiones, $p_1 \text{and}\space p_2$ tienen la calidad que $p_1 \times a = p_2 \times b$ donde $a \space\text{and}\space b$ son enteros, entonces toda la función, finalmente, repita después de un período de $p_1 \times a$.

Si que es cierto, que creo $f$ podría no ser periódica debido al hecho de que dos Pi es irracional.

¿Alguien sabe la respuesta y/o el tiempo en mi forma de pensar es la correcta? Nunca he visto a una función como esta antes, así que estoy muy curioso.

Answer 1

Utilizando la fórmula de producto a suma, $$ \sin x \sin\pi x = \frac{1}{2} \left (\cos ((1-\pi) x)-\cos((1 + \pi)x) \right) $$ e $\frac{1-\pi}{1+\pi} \not\in \mathbb{Q}$ $\sin x \sin \pi$ es continuo, por lo que esta función no es periódica.