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Distribución bivariada con condiciones normales

Definir el pdf conjunto de $(X,Y)$ como:

$$f(x,y)\propto \exp(-1/2[Ax^2y^2+x^2+y^2-2Bxy-2Cx-Dy]),$$

donde $A,B,C,D$ son constantes.

Demuestre que la distribución de $X\mid Y=y$ es normal con media $\frac{By+C}{Ay^2+1}$ y la varianza $\frac{1}{Ay^2+1}$ . Derive un resultado correspondiente para la distribución de $Y\mid X=x$ .

Intento:

Traté de integrar la ecuación con el tiempo. $x$ para encontrar $X\mid Y=y$ . Sin embargo, no estoy seguro de estar en lo cierto:

$$\int_{-\infty}^{\infty}\exp(-1/2[Ax^2y^2+x^2+y^2-2Bxy-2Cx-Dy])\,dx$$

$$ =\left[\frac{\exp[-1/2[Ax^2y^2+x^2+y^2-2Bxy-2Cx-Dy]}{-Axy^2-1/2+By+C}\right]_{-\infty}^{\infty}$$

Cualquiera que sea el valor de la integración anterior (llámese "Q"), entonces dividiríamos la ecuación original por "Q", es decir

$$ \frac{f_{X,Y}(x,y)}{Q}$$

Lo que nos daría $f_{X\mid Y=y}(X\mid Y=y)$ .

¿Cómo se evalúa?

$$ =\left[\frac{\exp[-1/2[Ax^2y^2+x^2+y^2-2Bxy-2Cx-Dy]}{-Axy^2-1/2+By+C}\right]_{-\infty}^{\infty}\text{ ?}$$

3voto

Michael Hardy Puntos 128804

Tendría que integrar $y$ no $x$ para obtener una densidad marginal que sea función de $x$ .

Lo que tienes dentro $\exp\left(\dfrac{-1}2\left(\bullet\bullet\bullet\right)\right)$ es $$ Ax^2y^2+x^2+y^2-2Bxy-2Cx-Dy. $$ Piensa en cómo se comporta esto en función de $x$ . Usted quiere $$ \left(\frac{x-\mu}\sigma\right)^2 + (\text{something not depending on $ x $}). $$ Tienes que averiguar qué $\mu$ y $\sigma$ son. El método estándar en álgebra para este tipo de cosas es completar el cuadrado.

\begin{align} & Ay^2x^2+x^2+y^2-2Bxy-2Cx-Dy \\[8pt] = {} & (Ay^2+1)x^2 -2(By+C)x + \text{terms not depending on $x$} \\[8pt] = {} & (Ay^2+1)\left(x^2 - 2\frac{By+C}{Ay^2+1} x\right) + \text{terms not depending on $x$} \\[8pt] = {} & (Ay^2+1)\left(x^2 - 2\frac{By+C}{Ay^2+1} x + \left(\frac{By+C}{Ay^2+1}\right)^2\right) + \text{terms not depending on $x$} \\[8pt] = {} & (Ay^2+1)\left(x - \frac{By+C}{Ay^2+1}\right)^2 + \text{terms not depending on $x$} \\[8pt] = {} & \left(\frac{x - \frac{By+C}{Ay^2+1}}{1/\sqrt{Ay^2+1}}\right)^2 + \text{terms not depending on $x$} \\[8pt] = {} & \left(\frac{x-\mu}{\sigma}\right)^2 + \text{terms not depending on $x$, if }\mu=\text{ what and }\sigma=\text{ what?} \end{align}

3voto

user26651 Puntos 26

Lo utilizamos:

$$f_{X\mid Y}(x\mid Y=y) = \frac{f(x,y)}{f_Y(y)} = \frac{f(x,y)}{\int_{-\infty}^{\infty} f(x,y)dx} $$ En primer lugar, observamos que: $$ -0.5(Ax^2y^2+x^2+y^2-2Bxy-2Cx-2Dy) =$$ $$ -0.5(Ay^2+1)\left(x-\frac{By+c}{Ay^2+1} \right)^2 -0.5\left(y^2-2Dy - \frac{(By+c)^2}{Ay^2+1}\right).$$ Esto nos da:

$$ \int_{-\infty}^{\infty} f(x,y)dx = \int_{-\infty}^{\infty} {\rm e}^{-0.5(Ax^2y^2+x^2+y^2-2Bxy-2Cx-2Dy) }dx$$ $$ ={\rm e}^{-0.5\left(y^2-2Dy- \frac{(By+c)^2}{Ay^2+1}\right) }\int_{-\infty}^{\infty} {\rm e}^{ -0.5(Ay^2+1)\left(x-\frac{By+c}{Ay^2+1} \right)^2 }dx$$ $$ = {\rm e}^{-0.5\left(y^2-2Dy- \frac{(By+c)^2}{Ay^2+1}\right) } (Ay^2+1)^{-1} \int_{-\infty}^{\infty} {\rm e}^{-0.5z^2 } dz$$ $$ = {\rm e}^{-0.5\left(y^2-2Dy- \frac{(By+c)^2}{Ay^2+1}\right) } (Ay^2+1)^{-1} \sqrt{2\pi}.$$

Finalmente:

$$ f_{X\mid Y}(x\mid Y=y) = \frac{1}{ (Ay^2+1)^{-1}\sqrt{2\pi}} {\rm e}^{-0.5(Ay^2+1)\left(x-\frac{By+c}{Ay^2+1} \right)^2 }.$$

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