Definir el pdf conjunto de $(X,Y)$ como:
$$f(x,y)\propto \exp(-1/2[Ax^2y^2+x^2+y^2-2Bxy-2Cx-Dy]),$$
donde $A,B,C,D$ son constantes.
Demuestre que la distribución de $X\mid Y=y$ es normal con media $\frac{By+C}{Ay^2+1}$ y la varianza $\frac{1}{Ay^2+1}$ . Derive un resultado correspondiente para la distribución de $Y\mid X=x$ .
Intento:
Traté de integrar la ecuación con el tiempo. $x$ para encontrar $X\mid Y=y$ . Sin embargo, no estoy seguro de estar en lo cierto:
$$\int_{-\infty}^{\infty}\exp(-1/2[Ax^2y^2+x^2+y^2-2Bxy-2Cx-Dy])\,dx$$
$$ =\left[\frac{\exp[-1/2[Ax^2y^2+x^2+y^2-2Bxy-2Cx-Dy]}{-Axy^2-1/2+By+C}\right]_{-\infty}^{\infty}$$
Cualquiera que sea el valor de la integración anterior (llámese "Q"), entonces dividiríamos la ecuación original por "Q", es decir
$$ \frac{f_{X,Y}(x,y)}{Q}$$
Lo que nos daría $f_{X\mid Y=y}(X\mid Y=y)$ .
¿Cómo se evalúa?
$$ =\left[\frac{\exp[-1/2[Ax^2y^2+x^2+y^2-2Bxy-2Cx-Dy]}{-Axy^2-1/2+By+C}\right]_{-\infty}^{\infty}\text{ ?}$$