Dejemos que $A \in SU(3)$ , $A=\matrix{(x_1& x_2&x_3)}$ donde $x_1 \in \mathbb{C}^3$ , $x_2 \in \mathbb{C}^3$ , $x_3 \in \mathbb{C}^3$ con $\|x_1\|=\|x_2\|=\|x_3\|=1$ y $\langle x_1,x_2\rangle=\langle x_2,x_3 \rangle =\langle x_1,x_3 \rangle=0$ .
$U(2)$ actúa sobre los dos primeros vectores de $A$ . Si $B \in U(2)$ , $\left(\matrix{x_1 & x_2}\right)B$ describe todas las bases ortonormales del plano $(x_1,x_2)$ cuando $B$ describe $U(2)$ . Así, un elemento en $SU(3)/U(2)$ es lo mismo que un avión $P$ en $\mathbb{C}^3$ y un vector unitario $x_3$ ortogonal al plano $P$ . Así que es lo mismo que un vector unitario $x_3$ en $\mathbb{C}^3$ .
De manera más general, en otras palabras, dejemos $A_1,A_2 \in SU(n)$ , dejemos que $c(A_1)$ y $c(A_2)$ las últimas columnas de $A_1$ y $A_2$ . $c(A_1)$ y $c(A_2)$ son vectores unitarios. Tenemos: $c(A_1)=e^{i\theta}c(A_2)$ para algunos $\theta \in \mathbb{R}$ si y sólo si $A_1=A_2\left(\matrix{B&0 \\0 & \det(B)^{-1}}\right)$ para algunos $B \in U(n-1)$ .
Si definimos una acción de $U(n-1)$ en $SU(n)$ por $A*B=A\left(\matrix{B&0 \\0 & \det(B)^{-1}}\right)$ para $A\in SU(n)$ y $B \in U(n-1)$ tenemos $\exists B \in U(n-1),A_1=A_2*B$ si y sólo si $\exists \theta, c(A_1)=e^{i\theta}c(A_2)$ .
Sea el mapa cociente que mapea $x \in \mathbb{C}^n-\{0\}$ a $\overline{x} \in CP^{n-1}:=(\mathbb{C}^n-\{0\})/\mathbb{C}^*$ .
Dejemos que $\equiv $ la relación de equivalencia $A_1\equiv A_2$ para $A_1,A_2 \in SU(n)$ si y sólo si $\exists B\in U(n-1),A_1=A_2*B$ .
(1) Tenemos $A_1\equiv A_2$ si y sólo si $\overline{c(A_1)}=\overline{c(A_2)}$ .
Así que hay un mapa en $SU(n)/U(n-1)$ a $CP^{n-1}$ . Es mónico debido a (1). Es onto porque cada columna $x\in \mathbb{C}^n-\{0\}$ tal que $\|x\|=1$ puede completarse con una matriz en $SU(n)$ .
