Esquema de una prueba que $\mathbb{R}^2 - A$ donde A es contable es trayectoria-conectado

Question

Deje $A$ ser una contables subconjunto de $\mathbb{R}^2$. Mostrar que $\mathbb{R}^2-A$ es la ruta de acceso conectado.

Estos son mis pasos:

1. Deje $x$ $y$ ser arbitrario de puntos de $R^2$

2. Deje $f^r:[0,1] \to \mathbb{R}^2$ ser dado por $f^r(t)=(1-t^r)x+t^ry$$r \in\mathbb{R}$.

3. Mostrar que $f^r$ es un camino continuo entre el $x$ $y$ y que no de ellos se cruzan.

4. Mostrar que $f^r$ es bijective con $\mathbb{R}$ a través de $F(f^r)=r$ y a la conclusión de que hay incontables no caminos se cruzan.

5. Asumir por el bien de la contradicción que $A$ cruza todas las rutas de $f^r$, y deducir que $A$ debe ser incontable (ya que debe intersectar cada $f^r$ a un punto diferente).

6. Contradicción! ($A$ es contable) por lo tanto existe una senderos $f^r$ algunos $r \in\mathbb{R}$ que no se cruzan $A$.

7. $\mathbb{R}^2-A$ es la ruta de acceso conectado.

Es esta la prueba de sonido?

Answer 1

Esta prueba falla, ya que, como Mariano en los comentarios señaló:

Para $x=(0,0)$ y $y=(0,1)$, $f^r(t) = (0,t^r)$ que es una línea recta (y, obviamente, se cruza con el de otras rutas).

Una gran prueba de sonido de esta declaración se puede encontrar aquí.

AÑADIDO: Mariano encontrado una manera de solucionar el argumento:

en lugar de el paso (2): Vamos a $v$ ser distinto de cero vector ortogonal a $y-x$ definir $f^r$ como sigue: $$f^r(t)=x+t(y-x)+rt(1-t)v \space \space \space \space \space r \in (0,1)$$

De ello se sigue que si $f^{r_1}(t)=f^{r_2}(t)$ algunos $x,y \in \mathbb{R}^2$ y algunos $t,r_1,r_2 \in(0,1)$, entonces:

$$x+t(y-x)+r_1t(1-t)v = x+t(y-x)+r_2t(1-t)v$$

$$\implies (y-x)+r_1(1-t)v = (y-x)+r_2(1-t)v$$

Por ortogonalidad de $v$ y $y-x$ $\implies r_1(1-t)=r_2(1-t)$

$$\implies r_1=r_2$$

Es decir, hemos demostrado que si dos caminos se cruzan en un punto (distinto de $t=0,1$), a continuación, corresponden a la misma parámetro $r$.

lugar de paso (4): mostrar que $f^r$ es bijective con (0,1) y, por tanto, incontables.

cambio en el paso (6): $r \in (0,1)$