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Para $k = 0$ ecuación 2 dice $$ 3x + 5 y = -4 \ffi \\ \frac{3}{\sqrt{34}} x + \frac{5}{\sqrt{34}} y = -\frac{4}{\sqrt{34}} \ffi \\ n \cdot(x - x_0, y - y_0, z - z_0) = 0 \Rightarrow \\ n \cdot (x,y,z) = n \cdot (x_0, y_0, z_0) $$ Este es un afín plano con vector normal $$ n = \left( \frac{3}{\sqrt{34}}, \frac{5}{\sqrt{34}}, 0 \right) $$ y el vector de posición $p$ $$ p = (x_0, y_0, z_0) = \left(-\frac{4}{3}, 0, 0\right) $$
Podemos hacer esto con otros dos aviones así y terminar con tres vectores normales, donde cada dos $n_i$ $n_j$ de ellos no son paralelos o antiparalelos $n_i \cdot n_j \ne 1 \wedge n_i \cdot n_j \ne -1$, por lo tanto tienen una línea de $g_{ij}$ como intersección.
Necesitamos entonces analizar la intersección de $g_{ij}$ y el avión $k$.
Una rápida trama parece indicar que los tres pares de intersecciones $g_{ij}$ son paralelas.
Esto significaría $$ \emptyset = g_{ij} \cap g_{ik} = (E_i \cap E_j) \cap (E_i \cap E_k) = E_i \cap E_j \cap E_k $$
Los vectores de dirección de la $g_{ij}$ $$ d_{ij} = \frac{n_i \times n_j}{\lVert n_i \times n_j \rVert} $$ es ortogonal tanto a $n_i$$n_j$.
La simbólica de cálculo es muy larga, pero el cálculo numérico da $$ d_{12} = d_{13} = d_{23} = (0.84515425472852, - 0.50709255283711, - 0.1690308509457) $$
Un vector $u$ común de avión $E_i$ $E_j$ debe cumplir $$ 0 = n_i \cdot (u - p_i) = n_j \cdot (u - p_j) $$ así que necesitamos $$ t_i d_{ij} = u - p_i \wedge t_j d_{ij} = u - p_j \Rightarrow \\ u = p_i + t_i d_{ij} = p_j + t_j d_{ij} \Rightarrow \\ (t_j - t_i) d_{ij} = p_i - p_j $$ para algunos números reales $t_i$$t_j$.
Tenemos $p_1 = (-3,0,0)$, $p_2 = (-4/3, 0, 0)$ y $p_3 = (1,0,0)$ y la nota que $p_i - p_j = (c, 0, 0)$ con no desapareciendo $c$. Por lo $p_i - p_j$ no puede ser un escalar varios de $d_{ij}$, que tiene un no-desaparición de $y$ - $z$- componentes. Así que no hay una solución común.
