Demostrando que $\lfloor a^2/2 \rfloor$ es para todos los $a\in\mathbb{Z}$.

Question

$\forall a \in \mathbb Z, \lfloor a^2/2 \rfloor$ es.
Estoy seguro de que esta afirmación es cierta. Los casos sospechosos sólo me son 0/2 y 1/2, pero también tienen incluso pisos. ¿Probarlo aunque?

Answer 1

Hacerlo por casos. $a$ Es o es impar.

• Si es $a$, escriba $a=2n$; entonces $a^2/2=2n^2$ es sin duda aún.
• Si $a$ es impar, escribir $a=2n+1$; entonces $$\left\lfloor\frac{a^2}2\right\rfloor=\left\lfloor\frac{4n^2+4n+1}2\right\rfloor=2n^2+2n=2(n^2+n)$ $ es también uniforme.

No arrojar lejos de discusiones de caso por caso; a veces son la forma más directa a probar un resultado.

Answer 2

Bien todo excepto divide 0 0 por eso cero es uniforme. usted podría intentar casos cuando una es incluso su bastante fácil cuando una es impar entonces tienes el número +1/2 para números impares de todo el piso que no afectar aunque enviará cada 1/2 a 0. ¿a ayuda?

Answer 3

$\rm \begin{eqnarray}\rm Let\ \ a &=&\rm 2n!+!r\ \rm for\ \ \ r&\in& {0,1}\ \end{eqnarray}!\bigg\rbrace\:\Rightarrow\: \bigg\lfloor \dfrac{a^2}2\bigg\rfloor = \bigg\lfloor 2n^2!+2nr+\dfrac{r^2}2\bigg\rfloor =\, 2n^2!+!2nr,\,\ $ $\rm\ \ \dfrac{r^2}2 \in\bigg{0,\,\dfrac{1}2!\bigg}$

Answer 4

Nota que para cada entero $a$, tenemos $un ^ 2\equiv 0\, (mod\, 4) \, \lor un ^ 2\equiv 1\, (mod\, 4) $. If $a^2=4k$ (for some integer $k\geq 0$), then $\lfloor \frac{a^2}{2}\rfloor=\lfloor \frac{4k}{2}\rfloor=2k$. If $a^2=4k+1$, then $\lfloor \frac{a^2}{2}\rfloor=\lfloor \frac {} 4 k +1} {2} \rfloor=\lfloor 2 k + \frac {1} \rfloor=2k {4} $.