¿Es una matriz de norma mínima en un subespacio afín de $M_n(\mathbb R)$ ¿tiene un radio espectral mínimo?

Question

Dejemos que $\mathcal U \in M_n(\mathbb R)$ sea un subespacio definido declarando que ciertas entradas son $0$ . Más concretamente, dejemos que $\Lambda, \Theta \subset \{1, \dots, n\}$ , $\mathcal U$ se define como $$\begin{align*} \mathcal U = \{ A \in M_n(\mathbb R): a_{ij} = 0 \text{ for } (i, j) \in \Lambda \times \Theta \text{ when } i \neq j \text{ and } a_{ii} = 0 \text{ for } i = \{1, \dots, n\} \}. \end{align*}$$ Espero que esto quede claro. Esencialmente $\mathcal U$ es un subespacio con ciertos patrones de cero en sus entradas y, en particular, las entradas diagonales son $0$ .

Ahora dejemos que $A \in \mathcal U$ y consideramos el subespacio afín $\mathcal S := A + \mathcal U^{\perp}$ donde $\mathcal U^{\perp}$ sería la matriz con patrón cero opuesta a $\mathcal U$ . Está claro que con respecto al producto interior definido por $\langle M, N \rangle = \text{tr}(M^TN)$ , $A$ es de norma mínima en $\mathcal S$ .

Mi pregunta: supongamos que $\rho(A) \ge a$ donde $a$ es algún escalar en $\mathbb R$ y $\rho$ denota el radio espectral, ¿es posible que cualquier $B \in \mathcal S$ tenemos $\rho(B) \ge a$ . En general, sé que la norma de la matriz es un límite superior del radio espectral y no deberíamos esperar tal desigualdad. Pero no he podido construir un contraejemplo o demostrarlo.

Answer 1

Si $A$ es nilpotente, $a$ tiene que ser no positivo. Por lo tanto, $\rho(B)$ es siempre $\ge a$ y la respuesta a su pregunta es sí en este caso.

Si $\lambda=\arg\max_{|\lambda_i(A)|=\rho(A)}|\Re(\lambda_i(A))|$ y $-\lambda$ no es un valor propio de $A$ , entonces siempre y cuando $a$ está lo suficientemente cerca de $\rho(A)$ siempre existe alguna matriz escalar $tI\in U^\perp$ tal que $\rho(A-tI)<a$ y por lo tanto la respuesta a su pregunta es no en este caso.

Por ejemplo, supongamos que $n=3,\ \Lambda=\{1\}$ y $\Theta=\{3\}$ . Entonces $A\in\mathcal U$ si y sólo si $a_{13}=0$ y $A$ tiene una diagonal cero. Sea $$A=\pmatrix{0&1&0\\ 2&0&2\\ 2&2&0}.$$ Su espectro es $\{1+\sqrt{3},\ -2,\ 1-\sqrt{3}\}$ y $\rho(A)=1+\sqrt{3}\approx2.732$ . Sea $a\in(2,\ \rho(A))$ . Entonces, para cualquier $t\in(\rho(A)-a,\ \rho(A)-2)$ tenemos $tI\in\mathcal U^\perp$ pero $\rho(A-tI)=\rho(A)-t<a$ .

Así, el único caso interesante es cuando ambos $\lambda=\arg\max_{|\lambda_i(A)|=\rho(A)}|\Re(\lambda_i(A))|$ y $-\lambda$ son valores propios de $A$ para la que aún no tengo respuesta.