Hice un post acerca de un año y medio atrás: $\pi$ como una Serie Infinita mediante Expansión de Taylor de la Ecuación de un Círculo donde básicamente he utilizado la expansión en series de Taylor en $\ y = \sqrt{r^2-x^2}$ (la ecuación de un círculo en coordenadas Cartesianas con el radio de $r$). La integración de plazo por el término de $0$ a $r$ con el fin de obtener una representación de $\pi$ le dio un modelo que escribí como: $$\ \pi = \sum_{n=1}^\infty \frac{-4[(2n-3)!!]^2}{(2n-3)(2n-1)!}$$ Esto puede ser escrito de manera diferente a como: $$\ -\frac{\pi}{4} = \sum_{n=1}^\infty \frac{(2n-5)!!}{(2n-1)(2n-2)!!}$$ Además, lo que he notado es (y lo que estoy tratando de entender, pero no puede por alguna razón): $$\ \frac{\pi}{16} = \sum_{n=1}^\infty \frac{(2n-7)!!}{(2n-1)(2n-2)!!}$$ $$\ -\frac{\pi}{96} = \sum_{n=1}^\infty \frac{(2n-9)!!}{(2n-1)(2n-2)!!}$$ $$\ \frac{\pi}{768} = \sum_{n=1}^\infty \frac{(2n-11)!!}{(2n-1)(2n-2)!!}$$ Este patrón continúa a la hora de ajustar el numerador (el doble factorial plazo) con números enteros impares... 5, 7, 9, 11, 13, y así sucesivamente. Los de la serie convergerá a las fracciones de pi y alternativo como positivos o negativos de las fracciones de la pi. No entiendo lo que está pasando aquí. También, es interesante notar que parece: $$\ \frac{\pi}{2} = \sum_{n=1}^\infty \frac{(2n-5)!!}{(2n-3)(2n-2)!!}$$
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Considerando la definición de la Creciente Factorial $$ z^{\,\overline {\n\,} } = {{\Gamma \left( {z + n} \right)} \over {\Gamma \left( z \right)}} $$ el doble factorial puede entonces escribirse como $$ \left( {2n - 3} \right)!! = \left( {2\left( {n - 2} \right) + 1} \right)!! = 2^{\,n - 1} \left( {{1 \over 2}} \right)^{\,\overline {\n - 1\,} } = {{1^{\,\overline {\,2\left( {n - 1} \right)\,} } } \over {2^{\,n - 1} 1^{\,\overline {\n - 1\,} } }} $$
Aplicamos :
- el valor de Gamma, la Duplicación de la fórmula
$$
\Gamma \left( {2\,z} \right) = {{2^{\,2\,z - 1} } \over {\sqrt \pi }}\Gamma \left( z \right)\Gamma \left( {z + 1/2} \right)\quad
$$
- la Gamma Reflexión fórmula
$$
\Gamma \left( z \right)\,\Gamma \left ( {z} \right) = - {\pi \over {z\sin \left( {\pi \,z} \right)}}
$$
- y el teorema de Gauss para la función Hipergeométrica
$$
{}_2F_{\,1} \left( {\left. {\matriz{ {a,b} \cr c \cr } \,} \right|\;1} \right)
= {{\Gamma \left( c \right)\Gamma \left( {c - a - b} \right)} \over {\Gamma \left( {c} \right)\Gamma \left( {c, b} \right)}}
\quad \left| {\;{\mathop{\rm Re}\nolimits} (a + b) < {\mathop{\rm Re}\nolimits} (c)} \right.
$$
Entonces la suma se convierte en $$ \eqalign{ & \sum\limits_{1\, \le \,n} {{{\left( {\left( {2n - 3} \right)!!} \right)^{\,2} } \over {\left( {2n - 3} \right)\left( {2n - 1} \right)!}}} = \sum\limits_{0\, \le \n} {{{1^{\,\overline {\,2n\,} } 1^{\,\overline {\,2n\,} } } \over {2^{\,2n} \,1^{\,\overline {\n\,} } \,1^{\,\overline {\n\,} } \left( {2n - 1} \right)1^{\,\overline {\,2n + 1\,} } }}} = \cr & = \sum\limits_{0\, \le \n} {{{1^{\,\overline {\,2n\,} } } \over {2^{\,2n} \,1^{\,\overline {\n\,} } \,1^{\,\overline {\n\,} } \left( {2n - 1} \right) \left( {2n + 1} \right)}}} = \cr & = \sum\limits_{0\, \le \,n} {{{\Gamma \left( {2n + 1} \right)} \over {2^{\,2n} \Gamma \left( {n + 1} \right)\Gamma \left( {n + 1} \right) \left( {2n - 1} \right)\left( {2n + 1} \right)}}} = \cr & = \sum\limits_{0\, \le \,n} {{{2n{{2^{\,2\,n - 1} } \over {\sqrt \pi }}\Gamma \left( n \right)\Gamma \left( {n + 1/2} \right)} \over {2^{\,2n} \Gamma \left( {n + 1} \right)\Gamma \left( {n + 1} \right)\left( {2n - 1} \right)\left( {2n + 1} \right)}}} = \cr Y = {1 \over {\sqrt \pi }}\sum\limits_{0\, \le \,n} {{{\Gamma \left( {n + 1/2} \right)} \over {\Gamma \left( {n + 1} \right)\left( {2n - 1} \right) \left( {2n + 1} \right)}}} = \cr Y = {1 \over {4\sqrt \pi }}\sum\limits_{0\, \le \,n} {{{\Gamma \left( {n - 1/2} \right)} \over {\Gamma \left( {n + 1} \right) \left( {n + 1/2} \right)}}} = \cr Y = {1 \over {4\sqrt \pi }}\sum\limits_{0\, \le \,n} {{{\Gamma \left( {n + 1/2} \right)\Gamma \left( {n - 1/2} \right)} \over {\Gamma \left( {n + 3/2} \right)}}{1 \over {n!}}} = \cr Y = {1 \over {4\sqrt \pi }}{{\Gamma \left( {1/2} \right)\Gamma \left( { - 1/2} \right)} \over {\Gamma \left( {3/2} \right)}} \sum\limits_{0\, \le \,n} {{{\left( {1/2} \right)^{\,\overline {\n\,} } \left( { - 1/2} \right)^{\,\overline {\n\,} } } \over {\left( {3/2} \right)^{\,\overline {\n\,} } }}{1 \over {n!}}} = \cr Y = - {{2\pi } \over {4\sqrt \pi }}{2 \over {\sqrt \pi }}\sum\limits_{0\, \le \,n} {{{\left( {1/2} \right)^{\,\overline {\n\,} } \left( { - 1/2} \right)^{\,\overline {\n\,} } } \over {\left( {3/2} \right)^{\,\overline {\n\,} } }}{1 \over {n!}}} = \cr Y = - {}_2F_{\,1} \left( {\left. {\matriz{ {1/2, - 1/2} \cr {3/2} \cr } \,} \right|\;1} \right) = - {{\Gamma \left( {3/2} \right)\Gamma \left( {3/2} \right)} \over {\Gamma \left( 1 \right)\Gamma \left( 2 \right)}} = \cr y = - {\pi \más de 4} \cr} $$
Las otras sumas siguen un patrón similar.
De hecho, siguiendo los mismos pasos anteriores (aquí reportados de manera concisa) llegamos a la expresión general $$ \bbox[lightyellow] { \eqalign{ & S(m) = \sum\limits_{1\, \le \,n} {{{\left( {2n - 2m - 1} \right)!!} \over {\left( {2n - 1} \right)\left( {2n - 2} \right)!!}}} = \sum\limits_{0\, \le \,n} {{{\left( {2n - 2m + 1} \right)!!} \over {\left( {2n + 1} \right)\left( {2n} \right)!!}}} = \cr & = {{2^{\, - m} } \over {\sqrt \pi }}\sum\limits_{0\, \le \,n} {{{\Gamma \left( {n - m + 3/2} \right)} \over {\left( {n + 1/2} \right)}}{1 \over {n!}}} = \cr & = {{2^{\, - m + 1} \Gamma \left( { - m + 3/2} \right)} \over {\sqrt \pi }}\sum\limits_{0\, \le \,n} {{{\left( {1/2} \right)^{\,\overline {\n\,} } \left( { - m + 3/2} \right)^{\,\overline {\n\,} } } \over {\left( {3/2} \right)^{\,\overline {\n\,} } }}{1 \over {n!}}} = \cr & = {{2^{\, - m + 1} \Gamma \left( { - m + 3/2} \right)} \over {\sqrt \pi }} \, {}_2F_{\,1} \left( {\left. {\matriz{ {1/2,3/2 - m} \cr {3/2} \cr } \,} \right|\;1} \right) = \cr & = {{2^{\, - m + 1} \Gamma \left( { - m + 3/2} \right)} \over {\sqrt \pi }}{{\Gamma \left( {3/2} \right)\Gamma \left( {m - 1/2} \right)} \over {\Gamma \left( 1 \right)\Gamma \left( m \right)}} = \cr Y = - {1 \over {\;2^{\,m} \Gamma \left( m \right)\cos \left( {\pi m} \right)}}\;\pi \quad \left| {\;1/2 < {\mathop{\rm Re}\nolimits} (m)} \right. \cr} }$$ válido también para las complejas $m$.
Para un entero $m=1,2, \cdots, 7$ que da $$S(m)/\pi={1 \over 2}, \; { -1 \over 4}, \; { 1 \over 16}, \; { -1 \over 96}, \; { 1 \over 768}, \; { -1 \over 7680}, \; { 1 \over 92160},\, \cdots$$
