Epimorphism en el Funtor categoría $[\mathbf{C}^{op}, \mathbf{Set}]$

Question

Que <span class="math-container">$\mathbf{C}$</span> ser una categoría pequeña y <span class="math-container">$\alpha: F \Rightarrow G$</span> un morfismo en el Funtor categoría <span class="math-container">$Func(\mathbf{C}^{op}, \mathbf{Set})$</span>. ¿Cómo pruebo que <span class="math-container">$\alpha$</span> es un epimorphism si y solamente si para todos los <span class="math-container">$A \in \mathbf{C}$</span> tenemos que <span class="math-container">$\alpha_A : FA \rightarrow GA$</span> surjetive? ¿Algún consejo?

Answer 1

Deje $\mathcal{A}$ e $\mathcal{B}$ ser categorías, $\mathcal{F},\mathcal{G}\colon\mathcal{A}\to\mathcal{B}$ ser functors, $\alpha\colon\mathcal{F}\to\mathcal{G}$ ser una transformación natural.

Si $\alpha(a)$ es un epimorphism para cada $a\in\text{Obj}(A)$, a continuación, $\alpha$ es un epimorphism en $\text{Func}(\mathcal{A},\mathcal{B})$. Es un ejercicio fácil.

Si $\alpha$ es un epimorphism en $\text{Func}(\mathcal{A},\mathcal{B})$ e $\mathcal{B}$ es finitely cocomplete, a continuación, $\alpha(a)$ es un epimorphism en $\mathcal{B}$ por cada $a\in\text{Obj}(\mathcal{A})$. Para cada objeto $a\in\text{Obj}(\mathcal{A})$ denotar por $\Delta_a\colon\mathbf{1}\to\mathcal{A}$ tal functor, que $\Delta_a(0)=a$. Tenga en cuenta que si $\mathcal{B}$ es finitely cocomplete, entonces la inversa de la imagen functor $\mathcal{B}^{\Delta_a}\colon\mathcal{B}^{\mathcal{A}}\to\mathcal{B}^{\mathbf{1}}$ es derecho exacta. Por lo tanto, la evaluación functor $\text{ev}_a\colon\mathcal{B}^{\mathcal{A}}\to\mathcal{B}$, de tal manera que $\text{ev}_a(\mathcal{T})=\mathcal{T}(a)$ por cada $\mathcal{T}\in\text{Func}(\mathcal{A},\mathcal{B})$, que es isomorfo a $\mathcal{B}^{\Delta_a}$, conserva epimorphisms.

A continuación, es suficiente señalar que $\mathbf{Set}$ es finitely cocomplete.

Por supuesto, la única parte difícil de la prueba es la declaración de que el inverso de la imagen functor conserva pointwise colimits. Usted puede leer acerca de la teoría de la pointwise límites/colimits en el Mac Lane CFWM y en el Borceux del manual.

Answer 2

Aquí es un argumento entendido directo... <span class="math-container">\begin{align} \quad& \text{ each } α_A : F\,A → G\;A \text{ is epic } \ ≡ & \color{green}{{\text{ Definition of epic }}} \ & \quad ∀ A • ∀ g,h • \quad h ∘ α_A = g ∘ α_A ⇒ h = g \ ≡ & \color{green}{{\text{ ⇒ take h,g to be transformation; ⇐ take ε,η to be constantly h,g }}} \ &\quad ∀ A • ∀ η,ε • \quad η_A ∘ α_A = ε_A ∘ α_A ⇒ η_A = ε_A \ ≡ &\color{green}{{\text{ Composition of natural transformations }}} \ &\quad ∀ A • ∀ η,ε • \quad (η ∘ α)_A = (ε ∘ α)_A ⇒ η_A = ε_A \ ≡ & \color{green}{{\text{ Quantifier Nesting }}} & \ & \quad ∀ η,ε • ∀ A • \quad (η ∘ α)_A = (ε ∘ α)_A ⇒ η_A = ε_A &\ \Rightarrow & \color{green}{{\text{ Quantifier distributivity }}} \ & \quad ∀ η,ε • \left(∀ A •\; (η ∘ α)_A = (ε ∘ α)_A \right) ⇒ \left(∀ A •\; η_A = ε_A\right) \ ≡ & \color{green}{{\text{ Extensionality }}} \ & \quad ∀ η,ε •\quad η ∘ α = ε ∘ α ⇒ η = ε \ ≡ & \color{green}{{\text{ Definition of epic }}} \ & \quad α \text{ is epic } \end{align}</span>

Tenga en cuenta que el puesto que en conjunto, epic es precisamente sobreyectiva, sigue el resultado deseado, más o menos.