Construcción de un polinomio dado el grupo de Galois de su campo de división

Question

Dejemos que $red_p : \mathbb{Z}[x]\to\mathbb{Z}/(p)[x]$ sea el morfismo canónico de anillo que envía un polinomio con coeficientes enteros a un polinomio con coeficientes enteros módulo $p$ con $p$ un primo, llevando el módulo a cada coeficiente. Mi objetivo es encontrar un polinomio $f\in\mathbb{Z}[x]$ de grado $8$ tal que $\mathrm{Gal}(F/\mathbb{Q})\cong S_8$ , donde $F$ denota el campo de división de $f$ en $\mathbb{Q}$ y tal que $red_7(f)$ es irreducible en $\mathbb{Z}/(7)[x]$ . No sé ni cómo empezar. Cualquier ayuda sería muy apreciada.

He hecho algunos intentos para construir un polinomio de 8 grados tal que $\mathrm{Gal}(F/\mathbb{Q})\cong S_8$ pero tampoco puedo resolver ese problema. Creo que sería un buen punto de partida.

Answer 1

Esta no es una respuesta completa, solo un comienzo ya que indicas que no sabes ni por donde empezar.

Dejemos que $f\in\Bbb{Z}[x]$ monic. Si su imagen $f_p$ en $\Bbb{F}_p[x]$ es separable y los factores como $f_p=\prod_{i=1}^kg_k$ entonces $\operatorname{Gal}(f)$ contiene un elemento de tipo ciclo $(\deg g_1,\ldots,\deg g_k)$ . Por lo tanto, tiene sentido empezar con un polinomio irreducible $h\in\Bbb{F}_7[x]$ ya que entonces cualquier ascensor $\tilde{h}\in\Bbb{Z}[x]$ ya tiene un elemento de orden $8$ en $\operatorname{Gal}(\tilde{h})$ . Un primer candidato fácil es $$h_7=x^8+x+3\in\Bbb{F}_7[x].$$ Para asegurarnos de que también tenemos una transpoción en $\operatorname{Gal}(f)$ elegimos un ascensor $\tilde{h}\in\Bbb{Z}[x]$ que se factoriza en un factor cuadrático y seis factores lineales mod $2$ . Un poco de manipulación da como resultado, por ejemplo $$\tilde{h}=x^8+x+3+7(x^7+x^6+x+1)\in\Bbb{Z}[x],$$ para que $$h_2=x^8+x^7+x^6=x^6(x^2+x+1)\in\Bbb{F}_2[x].$$ que muestra que $\operatorname{Gal}(\tilde{h})$ contiene una transposición. Esto no le da ese $\operatorname{Gal}(\tilde{h})\cong S_8$ pero te pone en el camino correcto.

EDITAR: Como se señala en los comentarios siguientes $h_2$ no es separable, por lo que esta elección de $\tilde{h}$ no funciona del todo. No me cabe duda de que el argumento se puede salvar, pero el resultado probablemente no será tan bonito. Lo pensaré mañana.

ACTUALIZACIÓN: Una forma de salvar el argumento es tomar una prima mayor $p$ para que un ascensor $\tilde{h}$ se divide en seis distintivo factores lineales y un factor cuadrático irreducible. Como $\deg\tilde{h}=8$ esto requiere $p\geq6$ Por lo tanto $p=11$ es el primo más pequeño que podría funcionar. Y, de hecho, sorprendentemente, un poco de manipulación muestra que el ascensor $$\tilde{h}=x^8+x+3+7(x+8)\big((x+3)(x+4)+6(x+1)(x+2)(x+5)(x+10)\big)\in\Bbb{Z}[x],$$ satisface $$h_p=(x+1)(x+2)(x+3)(x+5)(x+8)(x+10)(x^2+4x+5)\in\Bbb{F}_p[x],$$ que muestra que $\operatorname{Gal}(\tilde{h})$ contiene una transposición.

Answer 2

Este ejemplo se produjo en primer lugar generando polinomios al azar y comprobando las factorizaciones con ayuda del ordenador (sólo se necesitó un número modesto de polinomios antes de encontrar uno satisfactorio), por lo que se podría objetar (razonablemente) que esta respuesta no es realmente una "construcción". Pero cualquier método va a tener que demostrar de alguna manera que $\operatorname{red}_7 f$ es irreducible, y hacerlo ingenuamente es laborioso, ya que aquí están $588 + 112 + 24 + 7 = 631$ polinomios irreducibles sobre $\Bbb F_7$ de grado $1 \leq d \leq 4$ . Si se tiene una forma más rápida de generar polinomios irreducibles sobre $\Bbb F_7$ de grado $8$ que luego podemos factorizar sobre $\Bbb F_2, \Bbb F_3$ (que es mucho más rápido de hacer manualmente, ver más abajo), se podría optimizar considerablemente aquí.

Al igual que el enfoque de Servaes, el método aquí utiliza el Teorema de Dedekind para demostrar que $\operatorname{Gal}(F / \Bbb Q)$ contiene ciertos tipos de ciclos. En particular, usaremos que un subgrupo transitivo de $S_n$ que contiene un $(n - 1)$ -y una transposición es $S_n$ sí mismo.

Tome

$$f(x) := x^8 + 4 x^7 + 3 x^6 + 3 x^5 + 3 x^4 + 5 x^3 + x^2 + 4 x + 5 .$$

Factorización $\operatorname{red}_p f$ en $\Bbb F_p$ para los siguientes $p$ da:

• $\operatorname{red}_7 f$ es irreducible sobre $f$ Así que $f$ satisface la hipótesis dada y por el Teorema de Dedekind $\operatorname{Gal}(F / \Bbb Q)$ actúa transitoriamente sobre las raíces de $f$ .
• $\operatorname{red}_{2} f = p_3 \hat p_3 p_2$ para polinomios irreducibles (y distintos) de grados respectivos $3, 3, 2$ . De nuevo por el Teorema de Dedekind $\operatorname{Gal}(F / \Bbb Q)$ contiene un producto $\sigma$ de tipo de ciclo $(3, 3, 2)$ Así que $\sigma^3 \in \operatorname{Gal}(F / \Bbb Q)$ es una transposición.
• $\operatorname{red}_{3} f = q_7 q_1$ para polinomios irreducibles $q_d$ por lo que el Teorema de Dedekind nos da esta vez que $\operatorname{Gal}(F / \Bbb Q)$ contiene un $7$ -ciclo.

Tras comprobar la irreductibilidad de $\operatorname{red}_7 f$ como se ha comentado anteriormente, la verificación más intensiva es comprobar que $q_7$ es irreducible sobre $\Bbb F_3$ , pero sólo hay $8 + 3 + 3 = 14$ polinomios irreducibles de grado $1 \leq d \leq 3$ irreducible sobre $\Bbb F_3$ .