Problema: demostrar que la función es constante

Question

Sea $f \colon \mathbb{R} \to \mathbb{R} $ sea una función continua tal que $ f(x) \in \mathbb I = \mathbb R\setminus \mathbb Q,\ \forall x \in \mathbb{R}$ . Demostrar que $f$ es constante.

He intentado asumir que no es una constante pero no consigo llegar a una contradicción con la continuidad.

Answer 1

Asumiendo que conocemos 1. El Teorema del Valor Intermedio y 2. que entre dos irracionales cualesquiera hay un racional, entonces la prueba por contradicción debería funcionar bien.

Si $f(a)<f(b)$ entonces tiene que haber un número racional $r$ con $f(a)<r<f(b).$ Por IVT, hay un $c$ tal que $f(c)=r$ contradicción.

Answer 2

La imagen $f(\mathbb{R})$ está conectado por caminos y los únicos subespacios no vacíos conectados por caminos de $\mathbb{I}$ son los puntos. Así que $f$ es constante.

Answer 3

Supongamos que $f$ no es constante. Entonces hay $i_1, i_2 \in \mathbb I$ tal que $i_1 \ne i_2$ y $i_1,i_2 \in f(\mathbb R)$ . WLOG podemos suponer que $i_1 <i_2$ . Ahora escoge algún número racional en $(i_1, i_2)$ . El teorema del valor intermedio da $r \in f(\mathbb R)$ una contradicción.

Answer 4

La imagen continua de un conjunto conexo es conexa.

Los únicos conjuntos conectados en $\mathbb R\setminus \mathbb Q$ son puntos únicos.

Hecho.