Alguien me puede explicar en términos simples de entender, qué es un espacio métrico

Question

Es para explicarlo en clase, pero no lo tengo muy claro

Answer 1

Remitámonos a la geometría plana (euclidiana), allí tenemos una noción "intuitiva" de lo que significa la distancia entre dos puntos. Esta noción de distancia tiene las siguientes propiedades:

I. La distancia entre dos puntos en el plano siempre es positiva y, además, la distancia de un punto en si mismo es cero.

II. La distancia de un punto $x$ a un punto $y$ es la misma que la distancia de $y$ a $x$.

III. Por último, es bien conocida la desigualdad del triángulo que dice que, la suma de las longitudes de los lados de un triángulo siempre es mayor que la longitud del tercero.

Estas tres propiedades son consideradas como las características principales que deba cumplir cualquier cosa que se quiera llamar distancia, son las propiedades canónicas.

De lo anterior, surge una generalización natural de distancia en cualquier conjunto arbitrario $X$. Esto es, la función $d:X\times X\rightarrow \mathbb{R}$ es una función de distancia en $X$ si satisface las siguientes tres propiedades:

I. $d(x,y)\geq 0$ y $d(x,y)=0$ sii $x=y$.

II. $d(x,y)=d(y,x)$

III. $d(x,y)\leq d(x,z)+d(z,y)$.

Así, equipando al conjunto $X$ con una función que cumpla estas característica, tenemos un espacio métrico $(X,d)$.