Maximice $x_1^3+x_2^3+\cdots + x_n^3$

Question

Es de un concurso brasileño de matemáticas para estudiantes universitarios (OBMU):

Dado un número entero positivo $n$ encuentre el valor máximo de

$$x_1^3+x_2^3+ \cdots + x_n^3$$

donde $x_j$ es un número real para todo $j \in \{1,2,\cdots, n\}$ tal que $x_1 + x_2 + \cdots + x_n = 0$ y $x_1^2 + x_2^2 + \cdots + x_n^2 = 1$ .

Answer 1

En efecto, se podrían utilizar los multiplicadores de Lagrange, pero se me ocurrió intentar obtener una intuición geométrica en tres dimensiones.

Esto muestra la esfera de restricciones $x_1^2 + x_2^2 + x_3^2=1$ y el plano de restricciones $x_1 + x_2 + x_3 = 0$ y el lugar de su intersección, un anillo (negro). El plano es perpendicular al vector normalizado ${\bf a} = (1/\sqrt{3}, 1/\sqrt{3}, 1/\sqrt{3})$ . Un vector (normalizado) perpendicular a ${\bf a}$ es ${\bf b} = \left( \frac{1}{\sqrt{6}},\frac{1}{\sqrt{6}},-\frac{2}{\sqrt{6}} \right)$ . Otro vector (normalizado) perpendicular a ambos es ${\bf c} = \left( -\frac{1}{\sqrt{2}},\frac{1}{\sqrt{2}},0\right)$ determinado por ${\bf c} = {\bf a} \times {\bf b}$ .

Así, cualquier punto potencial de solución puede describirse como $(x_1, x_2, x_3) = \cos (\theta) {\bf b} + \sin (\theta) {\bf c}$ .

La sustitución directa, la cubicación de los componentes y la simplificación dan como resultado $x_1^3 + x_2^3 + x_3^3 = -\frac{\cos (3 \theta )}{\sqrt{6}}$ .

Es muy sencillo maximizar esta función de una sola variable $\theta$ y encontramos que la solución es $1/\sqrt{6}$ .

No es sorprendente que haya tres soluciones equivalentes, correspondientes a la permutación de las tres variables.

Como comprobación, encuentro el vector solución con $\theta = 1$ (del gráfico) sea ${\bf s} = (-0.374432, 0.815587, -0.441155)$ efectivamente obedece a las restricciones y lleva a que el criterio suma de cubos sea $0.404163$ como puede verse en el gráfico.

Answer 2

Pista: Intenta utilizar la técnica del análisis de Fourier. Podemos suponer razonablemente que el máximo se produce cuando $x_i = -\frac{1}{\sqrt{n(n-1)}}, \forall i<n$ y $x_n = \sqrt{1-\frac{1}{n}}.$

Ver $x_{\cdot}$ como una función definida en el grupo $\mathbf{Z}/n\mathbf{Z}$ . Sea $\zeta = \exp(\frac{2\pi i}{n})$ sea $n$ -raíz de la unidad y definir su $r$ -coeficiente de Fourier como $s^{}(r) = \frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}x_k\zeta^{-rk}.$ Observamos que $$x_j = \sum_{r=0}^{n-1}s(r)\zeta^{rj}, \quad \forall j=1,\ldots,n,$$ y $$ \sum_{1\leq j\leq n} |x_j|^2 = n\sum_{1\leq r\leq n}|s(r)|^2, $$ desde $\frac{1}{n}\sum_{1\leq r\leq n} \zeta^{rm} =1_{\{m=0\}}$ . Exprese las restricciones en el lenguaje de $s(r)$ (incluyendo $x$ es de valor real). Entonces obtenemos $$s(r) =\overline{s(n-r)},\; s(0) = 0,\; \sum_{1\leq r\leq n}|s(r)|^2 = \frac{1}{n}. $$ Lo que queda es expresar $Q = x_1^3 + \cdots + x_n^3$ como una función que incluye $s(r)$ 's. A partir de la primera identidad anterior, tenemos $$Q = n\sum_{1\leq r,r'\leq n}s(r)\overline{s(r')}s(r-r'). $$ Tenga en cuenta que el soporte es $$R = \{(r,r')\;| \;1\leq r,r'\leq n-1, r\neq r'\}.$$ Aplicando Cauchy-Schwarz, tenemos $$\begin{eqnarray}|\sum_{1\leq r,r'\leq n}s(r)\overline{s(r')}s(r-r')|^2&\leq& \sum_{(r,r')\in R}|s(r)|^2|s(r-r')|^2\sum_{(r,r')\in R}|s(r')|^2 \\ &=&\sum_{1 \leq r\leq n-1}|s(r)|^2\left(\frac{1}{n} - |s(r)|^2\right)\cdot\sum_{1 \leq r\leq n-1}\frac{1}{n} - |s(r)|^2 \\ &=&\left(\frac{1}{n^2} - \sum_{1 \leq r\leq n-1} |s(r)|^4\right)\frac{n-2}{n}\\ &\leq& \frac{(n-2)^2}{n^3(n-1)}, \end{eqnarray}$$ desde $\frac{1}{n^2} \leq (n-1)\sum_{1 \leq r\leq n-1} |s(r)|^4$ . Por lo tanto, tenemos $$Q \leq \frac{n-2}{\sqrt{n}\sqrt{n-1}},$$ como desee.

Answer 3

Se me ocurre una solución utilizando los multiplicadores de Lagrange (uno de los comentarios y una de las respuestas sugieren utilizar esto). En primer lugar, tenemos que darnos cuenta de que el dominio

$$ S =\{ (x_1,x_2,\cdots,x_n) \in {\mathbb{R}}^n | x_1 + x_2 + \cdots + x_n = 0 \text{ and } x_1^2 + x_2^2 + \cdots + x_n^2 = 1\} $$

es cerrado (ya que las funciones $(x_1,x_2,\cdots,x_n ) \mapsto x_1 + x_2 + \cdots + x_n$ y $(x_1,x_2,\cdots,x_n ) \mapsto x_1^2 + x_2^2 + \cdots + x_n^2$ son continuas) y acotadas (ya que $x_1^2 + x_2^2 + \cdots + x_n^2 = 1$ ). Entonces S es compacto.

Defina $$f(x_1,x_2,\cdots,x_n ) = x_1^3 + x_2^3 + \cdots+ x_n^3 $$ $$g(x_1,x_2,\cdots,x_n ) = x_1^2 + x_2^2 + \cdots+ x_n^2 -1 $$ $$h(x_1,x_2,\cdots,x_n ) = x_1 + x_2 + \cdots+ x_n $$

Desde $S$ es compacto y $f$ es continua, entonces $f$ alcanza un valor máximo en $S$ . Podemos encontrar el máximo utilizando los multiplicadores de Lagrange:

$$\nabla f = \lambda_1 \nabla g + \lambda_2 \nabla h$$

Así,

$$ 3(x_1^2,x_2^2,\cdots,x_n^2) = 2\lambda_1(x_1,x_2,\cdots,x_n ) + \lambda_2(1,1,\cdots,1)$$

Entonces,

$$3x_i^2 = 2\lambda_1 x_i+ \lambda_2 \text{ } \forall i \in \{1,2,\cdots,n\} \label{1}\tag{1}$$

Si sumamos todas las ecuaciones y utilizamos las ecuaciones de las restricciones, obtenemos $\lambda_2= \frac{3}{n}$ . Entonces,

$$3x_i^2 = 2\lambda_1 x_i+ \frac{3}{n} $$

Resolución de $x_i$ obtenemos

$$ x_i = \frac{\lambda_1 \pm \sqrt{\lambda_1^2 + \frac{9}{n}}}{3} $$

Sea $k$ sea un número natural menor o igual que $n$ . Por lo tanto, podemos suponer

$$ x_i = \frac{\lambda_1 + \sqrt{\lambda_1^2 + \frac{9}{n}}}{3} \forall i \in \{1,2,\cdots,k\}$$

$$ x_i = \frac{\lambda_1 - \sqrt{\lambda_1^2 + \frac{9}{n}}}{3} \forall i \in \{k+1,k+2,\cdots,n\}$$

En primer lugar, observe que $k$ es diferente de $0$ y $n$ debido a la restricción $x_1+ x_2 + \cdots + x_n =0$ . Utilizando la restricción $x_1^2 + x_2^2 + \cdots + x_n^2 = 1$ y tras algunas simplificaciones, obtenemos

$$\lambda_1 \left(n\lambda_1 + (2k-n) \sqrt{\lambda_1^2 + \frac{9}{n}} \right) = 0\label{2}\tag{2}$$

Y utilizando $x_1+ x_2 + \cdots + x_n =0$ obtenemos

$$ n\lambda_1 + (2k-n) \sqrt{\lambda_1^2 + \frac{9}{n}} = 0 \label{3}\tag{3}$$

Por lo tanto, sólo tenemos que satisfacer \ref {3}, porque con eso \ref {2} se cumple automáticamente. Entonces, obtenemos

$$\lambda_1 = \frac{3(n-2k)}{2\sqrt{(n-k)nk}} $$

Nótese que deberíamos considerar la otra solución con el otro signo, pero al final obtenemos el mismo valor máximo para ambos casos. Multiplicando \ref {1} por $x_i$ :

$$ 3x_i^3 = 2\lambda_1x_i^2 + \frac{3x_i}{n} $$

Poniendo todos los puntos sobre las íes:

$$3f = 2\lambda_1 $$

Así,

$$ f(k) = \frac{n-2k}{\sqrt{(n-k)nk}} = \frac{1}{\sqrt{n}}\left(\sqrt{\frac{n-k}{k}}-\sqrt{\frac{k}{n-k}}\right)$$

Recuerde que $k \in {2,3,\cdots, n-1}$ . Creación de $x = \sqrt{\frac{k}{n-k}}$ y analizando la derivada de

$$y: (0,1) \rightarrow \mathbb{R}$$ $$ x \mapsto\frac{1}{x}-x $$

Vemos que el valor máximo de $f$ es cuando $k=1$ Eso es,

$$ \frac{n-2}{\sqrt{(n-1)n}} $$