Supongamos que $R$ es un anillo (conmutativo), y $M$ y $N$ son (finitamente generados) $R$ -módulos. Entonces sé que cada $\mathrm{Ext}_R^i(M, N)$ tiene la estructura de un $R$ - módulo. Por otro lado, a través de la descripción de Yoneda de Ext, cada $\varepsilon \in \mathrm{Ext}_R^i(M, N)$ corresponde a una clase de equivalencia de secuencias exactas que comienzan con $N$ y terminando con $M$ . Mi pregunta es la siguiente: supongamos que $r \in R$ y $\varepsilon \in \mathrm{Ext}_R^i(M, N)$ . ¿Cómo puedo entender $r \varepsilon$ en términos de $\varepsilon$ ? ¿En qué medida $r \varepsilon$ ¿corresponden?
Respuesta
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Podemos ver el caso $i=1$ : En general, si $M$ es $A-B$ bimodulo(i.e.izquierda $A$ módulo y derecho $B$ y $(am)b=a(mb)$ ),N es $A-C$ bimódulo, entonces $Ext^1(M,N)$ es un $B-C$ bimodulo.la estructura de la izquierda $B$ y a la derecha $C$ módulo de la siguiente manera:
si $\varepsilon:0\rightarrow N\xrightarrow f X\xrightarrow g M\rightarrow 0$ es una secuencia exacta corta en la izquierda $A$ -módulos. $\forall b\in B$ hay una izquierda $A$ -homomorfismo de módulo $\varphi_b:M\rightarrow M$ al enviar $m$ a $mb$ .tomar el pullback con $\varphi_b$ y $g$ obtenemos un elemento en $Ext^1(N,M)$ esto es $b\cdot \varepsilon$ .
Del mismo modo, si $\forall c\in C$ ,tomar el pushout con la multiplicación natural de la derecha $\phi_c:N\rightarrow N$ y $f$ obtenemos un elemento en $Ext^1(N,M)$ esto es $\varepsilon\cdot c$ . es fácil Comprobarlo: estructura de la izquierda $B$ módulo y derecho $C$ tiene asociatividad, es decir $(b\cdot \varepsilon)\cdot c=b\cdot (\varepsilon\cdot c)$ . Como sigue: 
Entonces $\varphi_a=\alpha^-$ es utilizar el mapa único inducido por el núcleo.
Ahora consideramos el caso conmutativo, sólo tenemos que comprobar $r\cdot \varepsilon=\varepsilon\cdot r$ Supongamos que $\varepsilon:0\rightarrow N\xrightarrow f X\xrightarrow g M\rightarrow 0$ es una secuencia exacta corta en $R-Mod$ . A continuación, considere el siguiente diagrama: 
El $\beta^\prime$ hacer que todo el diagrama conmute. $\beta^\prime$ es también el mapa inducido entre núcleos, por lo que es único. También es inducido por $\phi_r:X\rightarrow X$ Por lo tanto $\beta^\prime=\phi_r:N\rightarrow N$ . Por el diagrama tenemos: $r\cdot \varepsilon=\varepsilon\cdot r$ .
para $i>1$ lo mismo.
