Supongamos que R es un anillo (conmutativo), y M y N son (finitamente generados) R -módulos. Entonces sé que cada ExtiR(M,N) tiene la estructura de un R - módulo. Por otro lado, a través de la descripción de Yoneda de Ext, cada ε∈ExtiR(M,N) corresponde a una clase de equivalencia de secuencias exactas que comienzan con N y terminando con M . Mi pregunta es la siguiente: supongamos que r∈R y ε∈ExtiR(M,N) . ¿Cómo puedo entender rε en términos de ε ? ¿En qué medida rε ¿corresponden?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?Podemos ver el caso i=1 : En general, si M es A−B bimodulo(i.e.izquierda A módulo y derecho B y (am)b=a(mb) ),N es A−C bimódulo, entonces Ext1(M,N) es un B−C bimodulo.la estructura de la izquierda B y a la derecha C módulo de la siguiente manera:
si ε:0→Nf→Xg→M→0 es una secuencia exacta corta en la izquierda A -módulos. ∀b∈B hay una izquierda A -homomorfismo de módulo φb:M→M al enviar m a mb .tomar el pullback con φb y g obtenemos un elemento en Ext1(N,M) esto es b⋅ε .
Del mismo modo, si ∀c∈C ,tomar el pushout con la multiplicación natural de la derecha ϕc:N→N y f obtenemos un elemento en Ext1(N,M) esto es ε⋅c . es fácil Comprobarlo: estructura de la izquierda B módulo y derecho C tiene asociatividad, es decir (b⋅ε)⋅c=b⋅(ε⋅c) . Como sigue: Entonces φa=α− es utilizar el mapa único inducido por el núcleo.
Ahora consideramos el caso conmutativo, sólo tenemos que comprobar r⋅ε=ε⋅r Supongamos que ε:0→Nf→Xg→M→0 es una secuencia exacta corta en R−Mod . A continuación, considere el siguiente diagrama: El β′ hacer que todo el diagrama conmute. β′ es también el mapa inducido entre núcleos, por lo que es único. También es inducido por ϕr:X→X Por lo tanto β′=ϕr:N→N . Por el diagrama tenemos: r⋅ε=ε⋅r .
para i>1 lo mismo.