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¿Cómo puedo entender la estructura de los módulos en Yoneda Ext?

Supongamos que R es un anillo (conmutativo), y M y N son (finitamente generados) R -módulos. Entonces sé que cada ExtiR(M,N) tiene la estructura de un R - módulo. Por otro lado, a través de la descripción de Yoneda de Ext, cada εExtiR(M,N) corresponde a una clase de equivalencia de secuencias exactas que comienzan con N y terminando con M . Mi pregunta es la siguiente: supongamos que rR y εExtiR(M,N) . ¿Cómo puedo entender rε en términos de ε ? ¿En qué medida rε ¿corresponden?

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Podemos ver el caso i=1 : En general, si M es AB bimodulo(i.e.izquierda A módulo y derecho B y (am)b=a(mb) ),N es AC bimódulo, entonces Ext1(M,N) es un BC bimodulo.la estructura de la izquierda B y a la derecha C módulo de la siguiente manera:

si ε:0NfXgM0 es una secuencia exacta corta en la izquierda A -módulos. bB hay una izquierda A -homomorfismo de módulo φb:MM al enviar m a mb .tomar el pullback con φb y g obtenemos un elemento en Ext1(N,M) esto es bε .

Del mismo modo, si cC ,tomar el pushout con la multiplicación natural de la derecha ϕc:NN y f obtenemos un elemento en Ext1(N,M) esto es εc . es fácil Comprobarlo: estructura de la izquierda B módulo y derecho C tiene asociatividad, es decir (bε)c=b(εc) . Como sigue: enter image description here Entonces φa=α es utilizar el mapa único inducido por el núcleo.

Ahora consideramos el caso conmutativo, sólo tenemos que comprobar rε=εr Supongamos que ε:0NfXgM0 es una secuencia exacta corta en RMod . A continuación, considere el siguiente diagrama: enter image description here El β hacer que todo el diagrama conmute. β es también el mapa inducido entre núcleos, por lo que es único. También es inducido por ϕr:XX Por lo tanto β=ϕr:NN . Por el diagrama tenemos: rε=εr .

para i>1 lo mismo.

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