Curva de Koch de los conjuntos de Cantor (paradoja)

Question

El Curva de Koch se construye normalmente tomando un segmento de línea, sustituyendo el tercio medio por dos copias de sí mismo formando los catetos de un triángulo equilátero, y repitiendo esto recursivamente para cada subsegmento. Véase la imagen siguiente. En cada paso, la longitud de la curva se multiplica por $4/3$ por lo que la longitud final es infinita.

Obsérvese que cada segmento de línea se somete a la construcción del Conjunto Cantor :

Por lo tanto, se podría considerar sustituir cada segmento de línea por conjuntos de Cantor ya desde el principio. Así, se comienza con el conjunto de Cantor, se toman dos copias más pequeñas del conjunto de Cantor y se hace un $\wedge$ en la abertura del medio, y luego se repite recursivamente. En este caso la longitud final será cero ya que el conjunto de Cantor tiene longitud cero.

Pregunta: ¿Cómo se resuelve esta paradoja? ¿Será el conjunto de límites de mi construcción diferente de la curva de Koch ordinaria? Si es así, ¿qué puntos faltan?

Answer 1

La convergencia en la geometría fractal suele definirse en términos de la Métrica de Hausdorff . A grandes rasgos, dos conjuntos son "cercanos" con respecto a la métrica de Hausdorff, si cada punto de uno está cerca de algún punto del otro.

Su colección de conjuntos de Cantor es efectivamente densa en la curva de Koch con respecto a la métrica de Hausdorff. Sin embargo, la métrica de Hausdorff no respeta la longitud. Es decir, dos conjuntos pueden estar cerca en la métrica de Hausdorff, pero sus longitudes pueden estar muy alejadas. Has encontrado un ejemplo que ilustra esto, pero hay otros.

Por ejemplo, si $$ Q_n = \{k/n:0\leq k \leq n\}, $$ entonces la distancia de Hausdorff entre $Q_n$ y el intervalo de la unidad es menor que $1/n$ . $Q_n$ es finita, pero la secuencia de $Q_n$ s converge a un conjunto de longitud positiva. Del mismo modo, podría reforzar su ejemplo utilizando el conjunto de puntos finales de los intervalos que se aproximan a la curva de Koch.

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He aquí una estrategia para encontrar puntos de la curva de Koch que no estén en ninguno de sus conjuntos de Cantor. En primer lugar, tenga en cuenta que la curva de Koch es el conjunto invariante del sistema de funciones iteradas:

$$\begin{align} T_1(x,y) &= \left(\frac{x}{3},\frac{y}{3}\right) \\ T_2(x,y) &= \left(\frac{1}{6} \left(x-\sqrt{3} y+2\right),\frac{1}{6} \left(\sqrt{3} x+y\right)\right) \\ T_3(x,y) &= \left(\frac{1}{6} \left(x+\sqrt{3} y+3\right),\frac{1}{6} \left(-\sqrt{3} x+y+\sqrt{3}\right)\right) \\ T_4(x,y) &= \left( \frac{x}{3},\frac{y+2}{3} \right). \end{align}$$

Estas funciones mapean la curva de Koch en las cuatro subpartes siguientes

Ahora, cualquier punto de la curva de Koch puede realizarse como límite de una secuencia $$\begin{align} & T_{i_1}(0,0) \\ & T_{i_1} \circ T_{i_2}(0,0)\\ & \vdots \\ & T_{i_1} \circ T_{i_2} \circ \cdots T_{i_n}(0,0) \\ & \vdots \end{align}$$ donde $(i_1,i_2,i_3,\ldots)$ es una secuencia en $\{1,2,3,4\}$ . El punto se encuentra en uno de sus conjuntos de Cantor precisamente cuando la secuencia contiene sólo un número finito de 2s y 3s, de modo que termina en una cadena de sólo 1s y 4s.

Si, por ejemplo, la sucesión sólo tiene 1s y 4s, y ningún 2s o 3s, entonces obtenemos un punto en el conjunto ternario de Cantor que se encuentra en el intervalo unitario. Si la sucesión comienza con un 2 y luego sólo contiene 1s y 4s, generamos un punto en el conjunto rojo de Cantor que se muestra a continuación; éste es exactamente la imagen del conjunto ternario de Cantor bajo la función $T_2$ . Si la secuencia comienza con 3, luego con 2, y luego contiene sólo 1s y 4s, generamos un punto en el conjunto Cantor azul de abajo; éste es exactamente la imagen del conjunto Cantor ternario bajo la función $T_3 \circ T_2$ .

Por último, si tenemos cualquier otra secuencia de 1s, 2s, 3s y 4s, entonces generamos algún otro punto en la curva de Koch que es no en cualquiera de sus conjuntos de Cantor. Hay incontables puntos de este tipo. Supongo que el más sencillo de encontrar explícitamente corresponde a la secuencia que contiene sólo 2s, que es exactamente el punto fijo de $T_2$ . Para encontrarlo, sólo tenemos que resolver $$T_2(x,y) = (x,y),$$ que da como resultado $(5/14,\sqrt{3}/14)$ . Ese punto se muestra en rojo en la secuencia de aproximaciones que aparece a continuación.

Si ampliamos la última imagen en el punto rojo para que esté centrado en un cuadrado de lado 0,04, obtenemos lo siguiente:

Así, los bordes se van acercando al punto pero nunca llegan a tocarlo. Está en el límite pero no en ninguno de los bordes.

Answer 2

No todos los puntos de la curva de Koch están en uno de sus conjuntos de Cantor. De hecho, esto se deduce inmediatamente del teorema de la categoría de Baire: cada uno de sus conjuntos de Cantor es un subconjunto cerrado de la curva de Koch con el interior vacío, y la unión de un número contable de tales conjuntos seguirá teniendo el interior vacío y, por tanto, no puede ser la curva de Koch completa.

La prueba del teorema de la categoría de Baire también da una receta para encontrar puntos que no están en ninguno de los conjuntos de Cantor. Digamos que el $n$ El conjunto de Cantor es $C_n$ y la curva de Koch es $K$ . Comenzar con un punto $x_0\in K\setminus C_0$ ; entonces hay alguna bola cerrada $B_0$ alrededor de $x_0$ que no se cruza con $C_0$ . Entonces elige un punto $x_1\in B_0\setminus C_1$ . De nuevo hay alguna bola cerrada $B_1$ alrededor de $x_1$ que no se cruza con $C_1$ . Entonces elige un punto $x_2\in B_0\cap B_1\setminus C_2$ y así sucesivamente.

Este procedimiento da una secuencia de puntos $(x_n)$ en $K$ y bolas $B_n$ tal que $x_m\in B_n$ para todos $m\geq n$ y $B_n\cap C_n=\emptyset$ . Desde $K$ es compacta, esta secuencia $(x_n)$ debe acumularse en algún momento $x\in K$ (de hecho, podemos elegir las bolas $B_n$ para tener un radio convergente a $0$ y luego $(x_n)$ será Cauchy y, por tanto, convergerá). Entonces $x\in B_n$ para todos $n$ Así que $x$ no puede estar en $C_n$ para cualquier $n$ .

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Otra forma de pensarlo es que la curva de Koch está parametrizada por una función continua $f:[0,1]\to \mathbb{R}^2$ que es el límite de las funciones $f_n:[0,1]\to\mathbb{R}^2$ parametrizando las aproximaciones a la curva de Koch. Cada uno de sus conjuntos de Cantor corresponde a la imagen de algún conjunto de Cantor en $[0,1]$ en $f$ y ese conjunto de Cantor en $[0,1]$ tendrá la medida de Lebesgue $0$ si has elegido tu parametrización razonablemente. Así, la unión de todos los conjuntos de Cantor en $[0,1]$ sigue siendo un conjunto nulo (y un conjunto de primera categoría), por lo que la mayoría de los puntos de $[0,1]$ no están en ninguno de esos conjuntos de Cantor.

Tenga en cuenta que también puede pensar en un punto $x\in[0,1]$ que no está en ninguno de esos conjuntos de Cantor como un punto tal que la secuencia $(f_n(x))$ nunca se estabiliza, sino que sigue moviéndose infinitamente a medida que se construyen las sucesivas aproximaciones. El valor de $f(x)$ será entonces el límite de esta secuencia, un punto de la curva de Koch que no estaba en ninguna de las aproximaciones sino que es un límite de puntos en las aproximaciones.