$\frac{|a|}{|b-c|} + \frac{|b|}{|c-a|} + \frac{|c|}{|b-a|} \geq 2$

Question

Si $a, b, c$ son números reales distintos, entonces demuestra que:

PS

Usando la desigualdad $$ S=\frac{|a|}{|b-c|} + \frac{|b|}{|c-a|} + \frac{|c|}{|b-a|} \geq 2.$ , demostramos que $ |x-y|\leq |x|+|y|$

Para $ S >\frac{3}{2}.$ , es decir, la suma tiene valores mayores que 2, pero no he podido demostrarlo.

Answer 1

Deje $\frac{a}{b-c}=x$ , $\frac{b}{c-a}=y$ y $\frac{c}{a-b}=z$ .

Por lo tanto, $$xy+xz+yz=\sum_{cyc}\frac{ab}{(b-c)(c-a)}=\frac{\sum\limits_{cyc}ab(a-b)}{(a-b)(b-c)(c-a)}=\frac{(a-b)(a-c)(b-c)}{(a-b)(b-c)(c-a)}=-1.$ $ Id est, $$\sum_{cyc}\left|\frac{a}{b-c}\right|=\sqrt{\left(|x|+|y|+|z|\right)^2}=\sqrt{x^2+y^2+z^2+2\sum\limits_{cyc}|xy|}=$ $ $$=\sqrt{(x+y+z)^2+2+2\sum\limits_{cyc}|xy|}\geq\sqrt{2+2}=2.$ $

Answer 2

Sin pérdida de generalidad podemos suponer que $b$ e $c$ tienen el mismo signo. A continuación, $|b|=|b-c|+|c|$. También, $|c-a|\le |c|+|a|$ e $|a-b| \le |a|+|b-c|+|c|$. Por lo tanto $$ \frac{|a|}{|b-c|}+\frac{|b|}{|c|}+\frac{|c|}{|a-b|} \ge \frac{|a|}{|b-c|} + \frac{|b-c|+|c|}{|c|+|a|} + \frac{|c|}{|a|+|b-c|+|c|} = (*).$$

Denotar $x=|a|$, $y=|b-c|$, $z=|c|$. Entonces, por Schwarz y por $x^2+y^2 \ge 2xy$, obtenemos \begin{align*} (*) & = \frac{x}{y}+\frac{y+z}{z+x}+\frac{z}{x+y+z} \\ &\ge \frac{(x+(y+z)+z)^2}{xy+(y+z)(z+x)+z(x+y+z)} \\ &= \frac{x^2+y^2+4z^2+2xy+4yz+4zx}{2z^2+2xy+2yz+2zx} \\ &\ge \frac{2xy+4z^2+2xy+4yz+4zx}{2z^2+2xy+2yz+2zx} \\ &=2.\end{align*}

Answer 3

Observe que $|x-y|\leq |x|+|y|$ implica que: $$\frac{|z|}{|x-y|} \geq \frac{|z|}{|x|+|y|}.$$ Entonces:

$$S \geq \frac{|a|}{|b|+|c|} + \frac{|b|}{|a|+|c|} + \frac{|c|}{|a|+|b|} = \\ =\frac{A}{B+C} + \frac{B}{A+C} + \frac{C}{A+B},$$ cuando me puse a$A = |a|, B = |b|$ e $C= |c|$ por el bien de la simplicidad.

Multiplicación y división con numeradores y denominadores por $(B+C)(A+C)(A+B)$, obtenemos que:

$$S \geq \frac{A^3+A^2B + A^2 C + AB^2 + 3ABC + AC^2 + B^3 + B^2C + BC^2 + C^3 }{(B+C)(A+C)(A+B)}.$$

Observe que el denominador puede ser ampliada como sigue:

$$D = (B+C)(A+C)(A+B) = A^2B + A^2C + AB^2 + 2ABC + AC^2 + B^2C + BC^2.$$

Por lo tanto, el numerador puede ser reescrita como:

$$ N= D + A^3 +B^3 + C^3 + ABC.$$

En otras palabras:

$$S \geq \frac{D + A^3 +B^3 + C^3 + ABC}{D} > \frac{D}{D} = 1.$$

Answer 4

He tratado de dar una prueba simple reduciendo a más y más simple de los casos, todo el tiempo haciendo "nada", y el final de la frase es simple, demasiado.

• Ante todo, tengamos en cuenta que el (LHS de la) dada la desigualdad es invariated por las permutaciones de las letras / variables $a,b,c$. Así que podemos y asumen $a\le b\le c$.

• Deje $s,t>0$ ser tal que $b=a+s$, $c=b+t=a+s+t$.

• Sustitución de la inicial $a,b,c$ con $-c,-b,-a$, podemos y asumen $b\ge 0$.

• Dada la desigualdad puede ahora escribirse de forma equivalente: $$ S= \frac{|a|}t + \frac{|a+s|}{s+t} + \frac{|a+s+t|s} \ge 2 \ . $$

• Si $a$ es $\ge0$, entonces los tres números de $a,b,c$ se $\ge 0$, y podemos escribir $$ \begin{aligned} S &= \frac{|a|}t + \frac{|a+s|}{s+t} + \frac{|a+s+t|}s \\ &\ge \frac{0}t + \frac{s}{s+t} + \frac{s+t}s %\ge 2\sqrt{ %\frac{s}{s+t} \cdot %\frac{s+t}s} \ge2\ ,\qquad(a\ge 0) \end{aligned} $$ y la última, $\ge$ (AM-GM), además, se $>0$ (debido a $t\ne 0$). El caso de la $a < b < c=a+s+t\le 0$ es similar.

• Así que el único caso interesante es el con $a<0\le b<c$ . Podemos reescribir la desigualdad en la forma: $$ \frac{|b-s|}t+\frac b{s+t}+\frac{b+t}s\ge 2\ . $$ Aquí, $b$ puede variar entre $0$ e $s$, y el primer módulo es $|a|=-a=-(b-s)=s-b$, por lo que tenemos que mostrar: $$ \frac{s-b}t+\frac b{s+t}+\frac{b+t}s\ge 2\ . $$ Pero esta es una lineal (ergo convexo) de la función en $b$, por lo que la desigualdad tiene que ser probado sólo para la posible extremidades, $b=0$ e $b=s$. Para $b=0$ obtenemos $\frac st+\frac ts\ge 2$, es cierto, con la igualdad de la $s=t$. Para $b=s$ obtenemos $\frac s{s+t}+\frac {s+t}s\ge 2$, una desigualdad de la misma forma, pero no podemos conseguir la igualdad. (Para valores intermedios de $b$ obtenemos los valores intermedios de la expresión.)