La evaluación de $\int{ \frac{x^n}{1 + x + \frac{x^2}{2} + \cdots + \frac{x^n}{n!}}}dx$ utilizando Pascal inversión

Question

(Nota: he agradecido mucho que marcó esto como un duplicado, pero me gustaría una respuesta a por qué mi prueba es incorrecto)

Esta es mi solución, no tengo ni idea de por qué ha fallado. Vamos a empezar:

definir $$I_n(m) = \int_{0}^{x} \frac{t^m}{1 + t + t^2/2 + ... + t^n/n!}\ dt$$

así que debe ser cierto que

$$\sum_{m=0}^{n}\frac{I_n(m)}{m!} = x$$

Entonces yo uso Pascal inversión:

$$\sum_{m=0}^n \frac{n! I_n(m)}{m!} = n!x$$

$$\sum_{m=0}^n {n\choose m} B_n(m) = n!x$$

donde $B_n(m) = (n-m)!I_n(m)$

por Pascal fórmula:

$$I_n(n) = (-1)^nxn! \sum_{m=0}^{n} \frac{(-1)^m}{(n-m)!}$$

¿qué hice mal ????

Answer 1

Se puede observar que la $$ \left(1 + x + \frac{x^2}{2} + \cdots + \frac{x^n}{n!}\right)'=1 + x + \frac{x^2}{2} + \cdots + \frac{x^{n-1}}{(n-1)!} $$ dando $$ \left(1 + x + \frac{x^2}{2} + \cdots + \frac{x^n}{n!}\right)-\left(1 + x + \frac{x^2}{2} + \cdots + \frac{x^n}{n!}\right)'=\frac{x^n}{n!} $$ y $$ \begin{align} \int \frac{x^n}{1 + x + \frac{x^2}{2} + \cdots + \frac{x^n}{n!}}dx&=n!\int\frac{\left(1 + x + \frac{x^2}{2} + \cdots + \frac{x^n}{n!}\right)-\left(1 + x + \frac{x^2}{2} + \cdots + \frac{x^n}{n!}\right)'}{1 + x + \frac{x^2}{2} + \cdots + \frac{x^n}{n!}}\:dx\\\\ &=n!\int dx-n!\int\frac{\left(1 + x + \frac{x^2}{2} + \cdots + \frac{x^n}{n!}\right)'}{\left(1 + x + \frac{x^2}{2} + \cdots + \frac{x^n}{n!}\right)}\:dx. \end{align} $$ Mus

$$ \int \frac{x^n}{1 + x + \frac{x^2}{2} + \cdots + \frac{x^n}{n!}}dx=n!\:x-n!\ln \left| 1 + x + \frac{x^2}{2} + \cdots + \frac{x^n}{n!}\right|+C. $$