Mapa continuo entre $L^p$ espacios

Question

El siguiente teorema aparece en el Apéndice B de Rabinowitz libro de Minimax Métodos en el Punto Crítico de la Teoría:

Deje $\Omega \subset \Bbb{R}^n$ ser delimitada y $g\in C(\overline{\Omega}\times \Bbb {R},\Bbb {R})$ tales que existen constantes $r,s\ge 1$ e $a_1,a_2\ge 0$ tal que para todos los $x \in \overline{\Omega}, y\in \Bbb{R}$ $$|g(x,y)|\le a_1 + a_2|y|^{r/s}$$ A continuación, el mapa de $\varphi(x)\mapsto g(x,\varphi(x))$ pertenece a $C(L^r(\Omega),L^s(\Omega))$.

En la prueba, dice, "Para demostrar la continuidad de este mapa, se observa que es continua en a$\varphi$ si y sólo si $f(x,z(x)) = g(x,z(x)+\varphi(x))-g(x,\varphi(x))$ es continua en a$z=0$. Por lo tanto, podemos asumir $\varphi = 0$ e $g(x,0)=0$."

No entiendo cómo este assumpion puede hacerse sin pérdida de generalidad, y no pudo terminar la prueba sin ella. Cualquier ayuda se agradece.

Edit: he encontrado una respuesta parcial en un subproceso diferente: La continuidad de la prueba de una función entre las $L^p$ espacios

En el post dice: Mediante la estimación de crecimiento, se puede derivar una estimación similar para $f$ de la forma: $$ |f(x,z(x))|\leq A_1+A_2 |\phi_0(x)|^{r/p}+A_3|z(x)|^{r/p} $$

Esto podría resolver mi problema, ya que los primeros dos constantes que no dependen de $z$ y puede ser arrojados juntos, dejando el caso de que ya se ha demostrado. Sin embargo, no podía derivar de esta estimación.

edit2: me equivoqué en el supuesto de que esto resuelve el problema ya que, como se ha señalado por parte de los usuarios supinf y Pedro Melec, la constante no puede depender de x.

Answer 1

Para $x\in\overline{\Omega}$ e $\frac{r}{s}\geq 1$ consigue $$|f(x,z(x))|=|g(x,z(x)+\varphi(x))-g(x,\phi(x))|\leq a_1+a_2|z(x)+\varphi|^{\frac{r}{s}}+a_1+a_2|\varphi(x)|^{\frac{r}{s}}\leq$$ $$2a_1+a_22^{\frac{r}{s}-1}(|z(x)|^{\frac{r}{s}}+|\varphi(x)|^{\frac{r}{s}})+a_2|\varphi(x)|^{\frac{r}{s}}\leq $$ $$\underbrace{2a_1}_{=A_1}+\underbrace{(a_22^{\frac{r}{s}-1}+a_2)}_{=A_2}|\varphi(x)|^{\frac{r}{s}}+\underbrace{a_22^{\frac{r}{s}-1}}_{=A_3}|z(x)|^\frac{r}{s}$$ en el que utiliza ese $(\frac{a+b}{2})^{\frac{r}{s}}\leq\frac{a^\frac{r}{s}+b^\frac{r}{s}}{2}$ que es por la convexidad de $x\mapsto x^{\frac{r}{s}}$ y la desigualdad de Jensen. En el caso de $\frac{r}{s}<1$ Se puede proceder de forma análoga el uso de $(a+b)^{\frac{r}{s}}\leq a^{\frac{r}{s}}+b^{\frac{r}{s}}$ válido en este rango.