Deseo encontrar los enteros de $a,b,c$ e $d$ tal forma que: $$225a + 360b +432c +480d = 3$$ que es igual a: $$75a + 120b +144c+ 160d =1$$
Sé que tengo que usar el algoritmo de Euclides. Y me las arreglé para hacerlo de dos enteros $x$ e $y$. Pero no entiendo, ¿cómo hacerlo con $4$ enteros.
$$ 144 \cdot 12 - 75 \cdot 23 = 3 $$ $$ 160 \cdot 1 - 3 \cdot 53 = 1 $$ $$ 160 \cdot 1 - 53 ( 144 \cdot 12 - 75 \cdot 23 ) =1 $$ $$ 160 \cdot 1 - 636 \cdot 144 + 1219 \cdot 75 = 1 $$
El menor vector solución es $$ a= 3, b= -2, c= -1, d= 1 $$ con $$ 3 \cdot 75 - 2 \cdot 120 - 144 + 160 = 225 -240 -144 + 160 = 1 $$
La pregunta más interesante es encontrar una base para el entramado de entero vectores ortogonales a su vector. Una base es determinado por estos tres filas:
$$ \left( \begin{array}{rrrr} -175536 & 0 & 91585 & -144 \\ -146280 & 1 & 76320 & -120 \\ -91424 & 0 & 47700 & -75 \\ \end{array} \right) $$ Este tridimensionales en celosía ha Gramo determinante $66361$ Siguiente es una reducción de la base por la liga de la leche algoritmo.
$$ \left( \begin{array}{rrrr} 0 & 4 & 0 & -3 \\ 0 & 2 & -5 & 3 \\ 8 & -1 & 0 & -3 \\ \end{array} \right) $$
La matriz de Gram para la reducción de la base, aún con determinante 66361, es
$$ \left( \begin{array}{rrr} 25 & -1 & 5 \\ -1 & 38 & -11 \\ 5 & -11 & 74 \\ \end{array} \right) $$
Hay un teorema que participan aquí, $$ 75^2 + 120^2 + 144^2 + 160^2 = 66361 $$
Todas las soluciones $(a,b,c,d)$ son dadas, con el entero $s,t,u,$por $$ (3+8u,-2+4s+2t-u,-1-5t,1-3s+3t-3u) $$
PARA solucionar $75a+120b+144c+160d=1$
Usted siempre puede usted Algoritmo de Euclides para solucionar $75A + 120B = \gcd(75,120)=15$
Y para solucionar $120\beta + 144\gamma = \gcd(120,144) = 24$
Y para solucionar $144C+160D = \gcd(144,160)=16$.
A continuación, en un intento de solucionar $15e + 24f + 16g=1$ y
Solucionar $15E + 24F= \gcd(15,24) = 3$ e $24\phi + 16\rho = \gcd(24,16)=8$.
Luego resuelve $3j + 8k = 1$.
A continuación, $j(15E + 24F) + (24\phi + 16\rho)k = 15(jE) + 24(jF+\phi k) + 16(\rho k)=1$
Por lo $e=jE; f=jF+\phi k; g=\rho k$ y
Por lo $(75A + 120B)e + (120\beta + 144\gamma)f + (144C+160D)g = 1$
Y $a = Ae; b=Be+\beta f; c=\gamma f + Cg; d = Dg$.
De, por supuesto, hay probablemente conocimientos y maneras de hacer más simple a lo largo del camino.
Pero esa es la idea general, acaba de romper en pequeños fragmentos más pequeños.
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Para hacer esto:
$75A + 120B = 15$ medio $5A + 8B =1$ lo $A=-3; B=2$ e $75(-3) + 120(2) = 15$.
$120B + 144C =24$ medio $5B + 6C =1$ lo $B=-1;C=1$ e $120(-1)+144(1) = 24$. (No dejes que el reciclaje de los nombres de las variables de asustar; no vamos a combinarlos.)
$144C + 160D=16$ medio $9C + 10D =1$ lo $144(-1) + 160(1) = 16$.
El solucionar $15e + 24f + 16g = 1 $ .... bien, puedo ver a $f=0$ e $e = -1; g = 1$ así
$-(75(-3) + 120(2)) + (144(-1) + 160(1)) = -15 + 16 = 1$ Así
$75*3 + 120*(-2) + 144(-1) + 160(1) = 1$
$\color{#c00}6 = 2(75)\!-\!144,\, $ $\color{#0a0}{80} = 2(120)\!-\!160\ $ lo $\,\bbox[5px,border:1px solid red]{1 = 75\!+\!\color{#c00}6\!-\!\color{#0a0}{80} = 3(75)-2(120) -144 + 160}$
Comentario $ $ Encontrado por examinar coef restos: $\bmod 75:\ 144\equiv -\color{#c00}6,\,$ $\,\bmod 120\!:\ 160\equiv -\color{#0a0}{80}$
es decir, se aplicó un par de (racional) de los pasos del algoritmo de Euclides extendido.
Alternativamente, aplicando el algoritmo de forma mecánica, la reducción de cada uno de los argumentos por los que menos argumento, obtenemos un mayor tiempo de cálculo como la que en user21820 la respuesta, a saber.
$$\begin{align} &\gcd(\color{#88f}{75},120,144,160)\ \ {\rm so\ reducing}\ \bmod \color{#8af}{75}\\ =\ &\gcd (75,\ 45,\,-\color{#0a0}6,\ \ 10)\ \ \ {\rm so\ reducing}\ \bmod \color{#0a0}{6} \\ =\ &\gcd(\ 3,\ \ \ \ 0,\ {-}\color{#0a0}6,\ {-}\color{#f4f}2)\ \ \ {\rm so\ reducing}\ \bmod \color{#F4f}{2}\\ =\ &\gcd(\ \color{#d00}{\bf 1},\ \ \ \ 0,\ \ \ \ 0,\ {-}2)\\ \end{align}\qquad\qquad $$
dando una identidad de Bezout para $\color{#d00}{\bf 1}$ a partir de la matriz ampliada en la ampliación del algoritmo (siga el enlace de arriba para una presentación completa con la matriz ampliada se muestra).
Usted puede sistemática de resolver cualquier ecuación (o demostrar que no hay soluciones) por el siguiente:
Tomar cualquier enteros $a,b,c,d$. A continuación, la siguiente correspondencia:
Y ahora simplemente siga el reverso de las correspondencias.
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