¿El gradiente apunta hacia el exterior de una superficie plana?

Question

Deje $f:\mathbb{R}^n\to \mathbb{R}$ ser una función derivable, con $a\in \mathbb{R}$ regular valor de $f$.

Deje $M=f^{-1}((-\infty,a])$. A continuación, $M$ $n$- manifold con frontera, cuyo límite es $\partial M=f^{-1}(a)$.

Deje $p\in \partial M$. A continuación,$T_p\partial M=\{\nabla f(p)\}^{\perp}$.

Pregunta: ¿$\nabla f(p)$ punto hacia el exterior de $\partial M$?

Sé que no es cierto si tomamos el intervalo de la otra manera alrededor. E. g. $-1$ es un valor regular de $f:\mathbb{R}^2\to \mathbb{R}$, $f(x,y)=-x^2-y^2$, pero el gradiente de $f$ puntos hacia el interior de la frontera de $f^{-1}([-1,+\infty))$$S^1$.

De hecho, por simetría, si la respuesta a la pregunta es positiva, sospecho que si tomamos $M=f^{-1}([a,+\infty))$ $\nabla f(p)$ siempre apunta hacia el interior de $\partial M$.

Answer 1

Por supuesto $f(p)=a$ y $\nabla f(p)=: n\ne0$. $X\in T_p$ Tenemos $$f(p+X)-f(p)=n\cdot X+o\bigl(|X|\bigr)\qquad(X\to0)\ .$ $ ahora poner $X:= \lambda n$ $\lambda>0$. Entonces $|X|=\lambda|n|$ y por lo tanto %#% $ de #% sigue que $$f(p+\lambda n)-f(p)=\lambda|n|^2+o(\lambda|n|)=\lambda |n|^2\bigl(1+o(1)\bigr)\qquad(\lambda\to0+)\ .$ % todos convenientemente pequeño $f(p+\lambda n)>f(p)=a$, lo que implica que el $\lambda>0$ apunta a la parte exterior del $n$.

Answer 2

No estoy de acuerdo con su interpretación de que el gradiente de la función de ejemplo $f = -x^2 -y^2$ puntos hacia adentro. El colector $M$ es todo lo que esté fuera de la unidad de la esfera. A mí, diciendo: el gradiente apunta hacia adentro significa que los puntos en el colector. En su lugar, el gradiente de puntos de salida del colector. Lo que pasa es que fuera de el colector es radialmente hacia el origen.

Puede ser que usted llegó a esta conclusión debido a que usted definió originalmente el colector como el conjunto de puntos tales que $f$ toma en no más que el valor de $a$, pero luego cambió a considerar el conjunto de puntos correspondientes a $f$ no menos que el valor de $a$ al final de la pregunta. La inversión de estas nociones se invierte lo que usted considere como parte del colector.

Edit: ya veo por qué ha explorado ese caso entonces. Entonces sí, siempre que defina el colector para contener los puntos donde $f < a$, el gradiente de punto a donde $f$ aumenta y, por tanto, toma valores superiores a $a$. Esto es hacia el colector cuando el colector se define de esta manera.

Answer 3

Me las he arreglado para formular mi propia prueba de este teorema. Doy todo detalle a continuación.

Definición: Dejar $M$ $n$- manifold con frontera, $p\in \partial M$ $\varphi:U\subset \mathbb{H}^n\to M$ una parametrización tal que $\varphi(q)=p$. Decimos que $v\in T_pM$ es hacia adentro que apunta a (resp. hacia el exterior apuntando a) si es de la forma $d\varphi_q(v_0)$ $v_0\cdot e_n>0$ (resp. $v_0\cdot e_n<0$).

Vamos a ver que esta definición no depende de la elección de parametrización, y al mismo tiempo dar un criterio útil.

Teorema. Deje $M$ $n$- manifold con frontera, $p\in \partial M$$v\in T_pM$. Los siguientes son equivalentes:

1. Existe una parametrización de la $\varphi:U\to M$ de manera tal que, si $\varphi(q)=p$$v=d\varphi_q(v_0)$, $v_0$ es tal que $v_0\cdot e_n>0$.

2. $v\not\in T_p\partial M$ y existe una curva de $\alpha:[0,\epsilon)\to M$ tal que $\alpha(0)=p$$\alpha'(0)=v$.

3. Para cada parametrización $\varphi:U\to M$ tenemos que, si $\varphi(q)=p$$v=d\varphi_q(v_0)$, $v_0$ es tal que $v_0\cdot e_n>0$.

Prueba: ($1 \Rightarrow 2$) Defina $\alpha:[0,\epsilon)\to M$$\alpha(t)=\varphi(q+tv_0)$, teniendo en $\epsilon$ lo suficientemente pequeño como para $q+tv_0$ $U$ todos los $t$. A continuación,$\alpha(0)=p$, y por la regla de la cadena, $\alpha'(0)=v$.

($2 \Rightarrow 3$) Deje $\varphi:U\to M$ ser una parametrización de la con $\varphi(q)=p$$v=d\varphi_q(v_0)$. Desde $\alpha(0)=p\in \varphi(U)$, podemos suponer que $\alpha([0,\epsilon))\subset \varphi(U)$, teniendo un menor $\epsilon$ si es necesario. Podemos definir entonces una curva de $\beta:=\varphi^{-1}\circ \alpha:[0,\epsilon)\to U$$\beta(0)=q$$\beta'(0)=v_0$.

Ahora, $\beta'(0)=\lim_{t\to 0^+} \frac{\beta(t)-q}{t}$. Pero $\beta(t)-q\in \mathbb{H}^n$ todos los $t$, por lo $\beta'(0)=v_0\in \mathbb{H}^n$. Ya que estamos, además, supone que $v\not\in T_p\partial M$,$v_0\not\in \partial \mathbb{H}^n$, de donde $v_0\cdot e_n>0$.

($3 \Rightarrow 1$) Es obvio. $\blacksquare$

Teorema. Deje $f:M\to N$ ser una función derivable entre colectores con el límite. Deje $p\in \partial M$$v\in T_pM$. Si $v$ es hacia el interior, señalando, a continuación, $df_p(v)\in T_{f(p)}N$ hacia adentro con el dedo.

Prueba: Supongamos $\alpha:[0,\epsilon)\to M$ ser una curva tal que $\alpha(0)=p$, $\alpha'(0)=v$. Considere la posibilidad de $f\circ \alpha:[0,\epsilon)\to M$. Tenemos $f(\alpha(0))=f(p)$, y por la regla de la cadena, $(f\circ \alpha)'(0)=df_p(v)$. Por lo tanto, $df_p(v)$ hacia adentro con el dedo. $\blacksquare$

Teorema: Vamos a $f:\mathbb{R}^n\to \mathbb{R}$ ser una función derivable con $a\in \mathbb{R}$ regular valor. Por lo $M=f^{-1}((-\infty,a])$ es un colector con límite tal que $\partial M=f^{-1}(a)$. Deje $p\in \partial M$. A continuación, $\nabla f(p)$ es exterior, apunta.

Prueba: en primer lugar, observar que $\nabla f(p)\not\in T_p\partial M$, debido a $T_p\partial M=\{\nabla f(p)\}^\perp$. Supongamos por contradicción que $\nabla f(p)$ hacia adentro con el dedo.

Considerando $f|_M:M\to (-\infty,a]$, por la proposición anterior llegamos a la conclusión de que $df_p(\nabla f(p))\in \mathbb{R}$ es hacia el interior apunta a $(-\infty,a])$. De forma explícita, esto significa que $df_p(\nabla f(p))<0$.

De hecho, un vector $v\in \mathbb{R}$ es hacia el interior, lo que apunta a $(-\infty,a])$ si y sólo si $v\neq 0$ y existe una curva de $\alpha:[0,\epsilon)\to (-\infty,a]$ tal que $\alpha(0)=a, \alpha'(0)=v$. Desde $\alpha(t)\leq a$ todos los $t$,$v=\alpha'(0)=\lim_{t\to 0^+} \frac{\alpha(t)-a}{t}\leq 0$, por lo $v<0$.

Tenemos así que el $df_p(\nabla f(p))<0$. Llegamos a una contradicción, ya que $df_p(\nabla f(p))=\nabla f(p)\cdot \nabla f(p)=\|\nabla f(p)\|^2>0$. $\blacksquare$