Libros para pruebas de desigualdad

Question

Me preguntaba: ¿qué libros para probar las desigualdades se usan en las universidades cuando se estudia matemáticas (licenciatura)?

Sé que hay muchos libros, pero me gustaría saber cuáles se usan específicamente en los estudios de matemáticas.

Gracias de antemano.

Answer 1

Si te refieres a lo que serían libros de referencia/recursos adecuados para que los estudiantes universitarios los conozcan, tres libros que conozco y que han resistido la prueba del tiempo lo son:

Desigualdades por Hardy/Littlewood/Pólya

Introducción a las desigualdades por Beckenbach/Bellman

Desigualdades geométricas por Kazarinoff

El libro de Hardy es probablemente demasiado avanzado en muchos lugares para la mayoría de los estudiantes universitarios, pero es tan clásico que tiene que ser incluido. Los otros dos son menos avanzados y serían adecuados para estudiantes universitarios de menor nivel e incluso buenos estudiantes de secundaria. Si tienes acceso a la biblioteca de la universidad, también puedes ir a donde el libro de Hardy está archivado y buscar en la misma vecindad otros libros sobre desigualdades. Para ello no importa si el libro de Hardy está sacado, ya que su propósito aquí es simplemente posicionarte en el lugar apropiado en las estanterías de la biblioteca.

Answer 2

Me temo que esta pregunta, que es una pregunta razonable, no tiene una respuesta razonable y concisa. Las desigualdades se presentan de diferentes formas. Estas podrían clasificarse como

1. Desigualdades fundamentales
2. Las desigualdades que aparecen en los estudios básicos, como el cálculo
3. Las desigualdades que aparecen en los estudios avanzados, como el análisis funcional
4. Desigualdades al estilo de las Olimpiadas

Encontrando $x$ que satisface las desigualdades como $(x+1)^2 + x > 0$ o más generalmente $p(x) > 0$ para algunos polinomios $p(x)$ es en gran medida demasiado básico para ser cubierto en su propio libro. Esto también es cierto para las desigualdades como $ \lvert x + 2 \rvert - 2 > 0$ . En cambio, estos se asocian a menudo con libros de texto de "álgebra universitaria" o "pre-cálculo" (nota: álgebra universitaria $ \neq $ álgebra moderna o álgebra abstracta).

Una vez que se llega al cálculo, es posible un nuevo lote de desigualdades, ya que el cálculo proporciona técnicas para probar las desigualdades en gran generalidad. Las desigualdades aquí podrían incluir $1 + nx < (1 + x)^n < e^{nx}$ . Esto pone de relieve un cierto problema, que es que hay muchas desigualdades interesantes o útiles, pero dependen de otro material para su prueba. Así que aparecen de forma más natural en otros cursos.

Esto ocurre de nuevo en las matemáticas superiores, pero creo que es lo suficientemente diferente como para justificar su propia clasificación. El análisis funcional o PDE (o muchos otros temas) utilizan e informan muchas desigualdades. Como teórico analítico de números, mucho de lo que hago se puede resumir como "probar las desigualdades en las funciones L y las series Dirichlet".

Por último, está la clase de desigualdades muy interesantes y a menudo muy divertidas del estilo de las olimpiadas. Estas a menudo se pueden probar desde los primeros principios, y creo que son muy divertidas. Pero tampoco aparecen en el "plan de estudios estándar de la licenciatura", sea lo que sea que eso signifique. Para ellos, recomiendo encarecidamente los libros "Solución de problemas a través de problemas" y "Estrategias de solución de problemas" (que son ambos grandes libros de preparación para las olimpiadas generales, y suplementos comunes a los cursos centrados en Putnam), y la "Cauchy-Schwarz Master Class" (que también es un libro, pero totalmente centrado en la desigualdad).

Espero que esto ayude.