Encuentre $C$ , si $A=CBC$ , donde $A$ , $B$ , $C$ son matrices simétricas.

Question

Si $A=CBC$ , donde $A$ , $B$ , $C$ son matrices simétricas y $A$ , $B$ se dan encontrar $C$ .

$A$ , $B$ , $C$ se suponen de valor real y $B$ es una matriz definida positiva. ¿Existe siempre la solución única? ¿Qué supuestos adicionales son necesarios para obtener una solución única?

Answer 1

Presumiblemente $A,B,C$ son real matrices simétricas. Como $B$ es positiva definida, condición necesaria para que $A=CBC$ es que $A$ es semidefinido positivo. Supongamos que sí. Entonces $A$ puede ser diagonalizado ortogonalmente. Por lo tanto, WLOG, podemos suponer que $A=D\oplus0$ para alguna matriz diagonal real $D$ con positivo entradas diagonales. Como $D\oplus0=CBC$ , $B$ es positiva definida y $C$ es simétrica, $C$ debe ser de la forma $\tilde{C}\oplus0$ , donde $\tilde{C}$ es una matriz simétrica del mismo tamaño que $D$ . Así que, WLOG, podemos suponer además que $A=D$ es una matriz diagonal positiva. Ahora $A=CBC$ implica que $I = (A^{-1/2}CA^{-1/2})(A^{1/2}BA^{1/2})(A^{-1/2}CA^{-1/2})$ . Así que podemos suponer además que $A=I$ . Pero entonces $I=CBC$ significa $B=C^{-2}$ . Es decir, $C^{-1}$ es una raíz cuadrada simétrica de $B$ . Por lo tanto, si $B$ se puede diagonalizar ortogonalmente como $B=Q\Sigma Q^T$ entonces $C=Q\Sigma^{-1/2}\Lambda Q^T$ donde $\Lambda$ es cualquier matriz diagonal con cada entrada diagonal igual a $\pm1$ . En otras palabras, $C$ es nunca único en este caso reducido. Volviendo al caso original, vemos que una solución $C$ siempre existe si $A$ es semidefinida positiva y la solución no es única si $A\not=0$ .

Editar: Como las raíces cuadradas semidefinidas positivas de las matrices semidefinidas positivas son únicas, si $C$ se requiere que sea semidefinida positiva, el argumento anterior muestra que está determinada de forma única por $$C = A^{1/2} (A^{1/2}BA^{1/2})^{-1/2} A^{1/2},$$ donde todas las raíces cuadradas aquí son raíces cuadradas semidefinidas positivas. (La respuesta de achille hui da $C = \sqrt{B}^{-1} \sqrt{ \sqrt{B} A \sqrt{B} } \sqrt{B}^{-1}$ . Desde $C$ es única, las dos fórmulas producen en realidad la misma matriz).

Cuando la suposición de que $B$ es positivo (o negativo) se elimina la definición, las cosas se ponen más feas. Cuando $B$ es no singular e indefinido, $C$ puede no ser única aunque impongamos la condición de que $C$ es semidefinido positivo. Por ejemplo, $$ \begin{pmatrix}3&-1\\-1&3\end{pmatrix} \begin{pmatrix}1\\&-1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}3&-1\\-1&3\end{pmatrix} = (\sqrt{8}I) \begin{pmatrix}1\\&-1\end{pmatrix} (\sqrt{8}I) $$ Cuando $B$ es singular, $C$ simplemente no puede ser único porque su restricción en el núcleo de $B$ puede tomarse como cualquier operador autoadjunto.

Answer 2

Si $B$ es la matriz identidad (que es definida positiva como usted requiere), su pregunta se convierte en si la matriz $A$ tiene una raíz cuadrada única. Sin más suposiciones, $A$ puede no tener una raíz cuadrada única, y de hecho un $n \times n$ matriz con $n$ valores propios distintos se sabe que tiene $2^n$ cuadrados.

Es es Se sabe que una matriz definida positiva $A$ tiene una única raíz cuadrada positiva definida, que sería una posible restricción para forzar la unicidad, pero sólo cuando la otra matriz $B$ resulta ser la matriz de identidad. No sé qué ocurre con otras $B$ .

Answer 3

Dada una matriz cuadrada simétrica real cualquiera $M$ no es difícil de demostrar $M$ tiene una raíz cuadrada simétrica real si $M$ es semidefinido positivo. Si $M$ es efectivamente semidefinida positiva, su raíz cuadrada nunca es única (a menos que $M$ es la matriz matriz cero). Sin embargo, entre estas raíces cuadradas, hay una y sólo una que es semidefinida positiva. Denotemos esta raíz cuadrada semidefinida positiva como $\sqrt{M}$ .

Aceptando estos hechos, es fácil ver la ecuación $A = CBC$ tiene una solución real solución simétrica para $C$ si $A$ es semidefinido positivo (mirando la la raíz cuadrada de $\sqrt{B} A \sqrt{B}$ ). Cuando $A$ es efectivamente semidefinido positivo, la "unicidad" de tomar la raíz cuadrada semidefinida positiva también obliga a una y sólo una solución de $C$ sea semidefinido positivo. A saber: $$ C = \sqrt{B}^{-1} \sqrt{ \sqrt{B} A \sqrt{B} } \sqrt{B}^{-1} $$