¿Serie con una secuencia recursiva? converge o divergen?

Question

$$\sum _{ n=1 }^{ \infty }{ { a }_{ n } } $$ where $${ a }_{ n }=sin({ a }_{ n-1 })$ $ y$${ a }_{ 0 }=1$ $ Sé que el límite de un es cero, pero ¿cómo puedo saber si la serie converge o difiere? ¿Puedo mostrarlo usando una de las pruebas?

Answer 1

Primero probemos que$a_n \ge 1/(n+1)$ por inducción. Es claramente cierto para$n=0$. Ahora asuma que es cierto para algunos$k>0$, es decir,$1 \ge a_k \ge 1/(k+1)$. Dado que$\sin x$ está aumentando en$[0,1]$, tenemos$a_{k+1}=\sin a_k \ge \sin \frac{1}{k+1}.$ Y sabemos que$\sin x \ge x - \frac{1}{3!}x^3$ es positivo para$x$; entonces$$\sin\frac{1}{k+1}\ge \frac{1}{k+1}-\frac{1}{6(k+1)^3} > \frac{1}{k+1} - \frac{1}{(k+1)(k+2)}=\frac{1}{k+2}.$ $ por lo tanto,$a_k \ge 1/(k+1) \implies a_{k+1} \ge 1/(k+2)$.

Concluimos que$a_n \ge 1/(n+1)$ para todos$n\ge 0$; y de ahí la serie de senos iterados diverge en comparación con las series armónicas.