Cómo mostrar $\exp(ix)=\cos x+i\sin x$ $\exp(z)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{z^n}{n!}$ de uso

Question

Tengo el siguiente problema:

Cómo mostrar $\exp(ix)=\cos x+i\sin x$ $\exp(z)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{z^n}{n!}$ de uso

Mi intento:\begin{align} \exp(ix)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(ix)^n}{n!} \end{align} ahora dividir la suma de 4 sumas ya cuenta con período 4, más precisamente $i^n$, $i^{4n}=1$, $i^{4n+1}=i$$i^{4n+2}=-1$ y $i^{4n+3}=-i$ $n\geq 0$. \begin{align} \sum{n=0}^{\infty}\frac{(ix)^n}{n!}&=\sum{n=0}^{\infty}\frac{(ix)^{4n}}{(4n)!}+\sum{n=0}^{\infty}\frac{(ix)^{4n+1}}{(4n+1)!}+\sum{n=0}^{\infty}\frac{(ix)^{4n+2}}{(4n+2)!}+\sum{n=0}^{\infty}\frac{(ix)^{4n+3}}{(4n+3)!}\ &=\sum{n=0}^{\infty}\left(\frac{x^{4n}}{(4n)!}-\frac{x^{4n+2}}{(4n+2)!}\right)+i\sum_{n=0}^{\infty}\left(\frac{x^{4n+1}}{(4n+1)!}-\frac{x^{4n+3}}{(4n+3)!}\right) \end{align} entonces $4n$ y $4n+2$ son números no negativos e incluso y $4n+1$ y $4n+3$ impares. Cómo puedo usar esto para convertir las dos última expresiones\begin{align} \cos x&=\sum{m=0}^{\infty}(-1)^m \frac{x^{2m}}{(2m)!}\ \sin x&=\sum{m=0}^{\infty}(-1)^m \frac{x^{2m+1}}{(2m+1)!} \end{align} no quiero ver las pruebas como\begin{align} \exp(ix)&=1+ix+\frac{(ix)^2}{2!}+\frac{(ix)^3}{3!}+\frac{(ix)^4}{4!}+\frac{(ix)^5}{5!}\ldots\ &=\Big(1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}\mp\ldots\Big)+i\Big(x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}\mp\ldots\Big)\ &=\cos x+i\sin x \end{align}

Answer 1

<blockquote> <p>Obtenemos</p> <p>\begin{align*} \cos(x)&=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n \frac{x^{2n}}{(2n)!}\\ &=\sum_{{n=0}\atop{n \text{ even}}}^{\infty}(-1)^n \frac{x^{2n}}{(2n)!}+\sum_{{n=0}\atop{n \text{ odd}}}^{\infty}(-1)^n \frac{x^{2n}}{(2n)!}\\ &=\sum_{{n=0}}^{\infty} \frac{x^{4n}}{(4n)!}-\sum_{{n=0}}^{\infty} \frac{x^{4n+2}}{(4n+2)!}\\ &=\sum_{{n=0}}^{\infty}\left( \frac{x^{4n}}{(4n)!}- \frac{x^{4n+2}}{(4n+2)!}\right) \end{align*}</p> <p>y semejantemente para $\sin(x)$.</p> </blockquote>

Answer 2

Divide la suma así:

\begin{align} \exp(ix) = \sum{n=0}^{\infty}\frac{(ix)^n}{n!}&=\sum{n=0}^{\infty}\frac{(ix)^{4n}}{(4n)!}+\sum{n=0}^{\infty}\frac{(ix)^{4n+1}}{(4n+1)!}+\sum{n=0}^{\infty}\frac{(ix)^{4n+2}}{(4n+2)!}+\sum{n=0}^{\infty}\frac{(ix)^{4n+3}}{(4n+3)!}\ &=\sum{n=0}^{\infty} \frac{x^{4n}}{(4n)!}- \sum{n=0}^{\infty}\frac{x^{4n+2}}{(4n+2)!} + i\left( \sum{n=0}^{\infty}\frac{x^{4n+1}}{(4n+1)!} - \sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^{4n+3}}{(4n+3)!}\right) \end{align} ahora nos unimos a las cantidades siguientes:\begin{align} \sum{n=0}^{\infty} \frac{x^{4n}}{(4n)!}- \sum{n=0}^{\infty}\frac{x^{4n+2}}{(4n+2)!} &= \sum{n=0}^{\infty} (-1)^{2n}\frac{x^{4n}}{(4n)!} + \sum{n=0}^{\infty}(-1)^{2 n+ 1}\frac{x^{4n+2}}{(4n+2)!} \ &= \sum{n=0}^{\infty} (-1)^{2n}\frac{x^{2(2n)}}{(2(2n))!} + \sum{n=0}^{\infty}(-1)^{2n+ 1}\frac{x^{2(2n+1)}}{(2(2n+1))!} \ &= \sum_{m \in \mathbb N0 \text{ even}} (-1)^{m}\frac{x^{2m}}{(2m)!} + \sum{m \in \mathbb N0 \text{ odd}} (-1)^{m}\frac{x^{2m}}{(2m)!} \ &= \sum{m=0}^{\infty} (-1)^{m}\frac{x^{2m}}{(2m)!} = \cos(x). \end{align} el mismo truco funciona $\sin(x)$, por lo que se $$ \exp(ix) = \sum{n=0}^{\infty} \frac{x^{4n}}{(4n)!}- \sum{n=0}^{\infty}\frac{x^{4n+2}}{(4n+2)!} + i\left( \sum{n=0}^{\infty}\frac{x^{4n+1}}{(4n+1)!} - \sum{n=0}^{\infty}\frac{x^{4n+3}}{(4n+3)!}\right) = \cos(x) + i \sin(x).$ $ espero que le ayuda :)

Answer 3

Su enfoque se supone que sabe que la serie de Taylor para $\cos x, \sin x$. Es posible demostrar directamente que $$\exp(ix) =\cos x+i\sin x$$ mediante el uso de las derivadas de funciones circulares.

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Voy a proporcionar un enfoque en la esperanza de que usted puede tener gusto de ella. También tenga en cuenta que esto no es exactamente la respuesta a su consulta respecto a la serie de transformación.

Considere la función $f(x) =\exp(ix) $ donde $x$ es una variable real. Usando el teorema binomial para valores positivos integral de índice y la regla para la multiplicación de una serie infinita es fácil probar que $$\exp(z+w) =\exp(z) \exp(w) $$ and hence $$f'(x) =\lim_{h\to 0}\frac{\exp(ix+ih)-\exp(ix)}{h}=\exp(ix)\lim_{h\to 0}\frac{\exp(ih)-1}{h}$$ Next we can note that $$\left|\frac{\exp(ih) - 1}{h}-i\right|=\left|\frac{i^{2}h}{2!}+\frac{i^{3}h^{2}}{3!}+\cdots\right|\leq \frac{|h|} {2!}+\frac{|h|^{2}}{3!}+\cdots$$ and the sum on the right in above equation does not exceed $$\frac{|h|} {2}+\frac{|h|^{2}}{2^{2}}+\cdots=\frac{|h|}{2-|h|}$$ provided that $|h|<2$. Thus if $|h|<2$ then $$0\leq\left|\frac{\exp(ih)-1}{h}-i\right|\leq \frac{|h|} {2-|h|}$$ and applying Squeeze Theorem we can see that $$\lim_{h\to 0}\frac{\exp(ih)-1}{h}=i$$ and therefore we have $f'(x) =si(x) $.

Si $g(x) =f(x) (\cos x-i\sin x) $ \begin{align} g'(x) &=f'(x) (\cos x-i\sin x) - f(x)(\sin x+i\cos x)\notag \\ &=if(x) (\cos x-i\sin x) - f(x) (\sin x+i\cos x)\notag \\ &=0\notag \end{align} y, por tanto, $g(x) $ es constante. Tenemos $g(x) =g(0)=1$ y, por tanto, $$\exp(ix) =f(x) =\frac{1}{\cos x-i\sin x} =\cos x+i\sin x$$

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Nota: Aunque el Valor medio Teorema no se mantenga para el complejo de valores de funciones de una variable real, una de sus consecuencias, es decir, la implicación de los "derivados se desvanece en todas partes $\Rightarrow $ función es constante en todas partes" no tiene complejos con valores de funciones de una variable real y este hecho ha sido utilizado aquí para la función de $g(x) $. La prueba para el complejo de valores de la función está dada por el tratamiento de las partes reales e imaginarias por separado.