Espiral de Ulam: ¿Existe una "cantidad inusual de aglomeración" en los polinomios cuadráticos ricos en primos?

Question

Estaba leyendo el libro de Martin Gardner Juegos matemáticos columna sobre la espiral de Ulam que apareció en el número de marzo de 1964 de Scientific American . (De hecho, la espiral apareció en la portada de ese número.) Gardner hace la siguiente declaración:

La cuadrícula de la portada sugiere que, a lo largo de toda la serie numérica, es probable que las expresiones de esta forma varíen notablemente desde las "pobres" en números primos hasta las "ricas", y que en las líneas ricas se produce una cantidad inusual de agrupamientos.

Por "este formulario" Gardner entiende el formulario $4x^2+bx+c$ . Tengo curiosidad -y algo de escepticismo- sobre su última afirmación relativa a la aglomeración. Sé que la existencia de polinomios ricos en primos y pobres en primos es una conjetura antigua, que se remonta al descubrimiento de Euler de que polinomios como $x^2-x+41$ generan un número inusualmente elevado de primos, y que Hardy y Littlewood y también Bateman y Horn hicieron propuestas concretas sobre cuál debería ser la densidad de primos en tales polinomios.

Mi pregunta es si hay alguna evidencia, ya sea numérica o heurística, de que debería haber una gran cantidad de aglomeración en los primos de la forma $x^2-x+41$ . Famosamente, los primeros 40 valores de $x$ todos dan primos, pero si uno va a valores más altos de $x$ ¿hay más agrupaciones largas de números primos de las que cabría esperar si los números primos estuvieran distribuidos aleatoriamente?

Reformulando la pregunta: Soy consciente de la conjetura de que $x^2-x+41$ tiene más primos que otras líneas similares. La cuestión es si existe una conjetura que diga que $x^2-x+41$ tiene grupos de primos más densos de lo esperado.

Answer 1

Este documento le resultará de interés:

Fung y Williams, "Polinomios cuadráticos que tienen una alta densidad de valores primos" , Matemáticas del cálculo , 55:191, julio de 1990, 345-353.

Answer 2

Es fácil comprobarlo numéricamente. Para $x^2-x+41$ He encontrado los siguientes valores:

x $\leq$ - número de primos - número de primos esperados - ratio

$1000000 - 261082 - 39313 - 6.64$

$5000000 - 1157818 - 174318 - 6.64$

Para $x^2-x+43$ :

$1000000 - 49233 - 39313 - 1.25$

$5000000 - 219098 - 174318 - 1.25$

Para $x^2-x+45$ :

$1000000 - 32060 - 39313 - 0.81$ $ 5000000 - 141501 - 174318 - 0.81$

Para el número esperado de primos he sumado las probabilidades de que un número x (elegido al azar) sea primo, $\frac{1}{ln(x)}$ . No sólo hay muchos más primos en $x^2-x+41$ que los otros dos polinomios, la relación tal como la calculé parece que converge. Sin haber leído todo el artículo que Matthew Conroy enlazó, estoy bastante seguro de que los cocientes son, de hecho, las constantes de Hardy-Littlewood.

Edición: Ahora entiendo lo que quieres decir. Estoy tratando de encontrar una definición matemática de "aglutinación", pero es todo un poco vage...

Edit2: Quizás este sea un enfoque: Empezamos pequeño con el número de esperados "twinprimes", que en nuestro caso significa $f(x)=x²-x+41$ es primo para números enteros consecutivos. La probabilidad debe ser $\sum \frac{6.64^2}{\ln{f(x)}\ln{f(x+1)}}$ . En $6.64$ se debe al hecho de que nuestro polinomio tiene aproximadamente ese número de primos más de lo que normalmente se espera.

$1000000 - 69152 - 68885 - 1.003870966737562$

$2000000 - 124384 - 123599 - 1.0063466049598313$

$3000000 - 175873 - 174474 - 1.008017081247298$

$4000000 - 225335 - 223075 - 1.0101310763434574$

$5,000,000 - 273080 - 270083 - 1.011093447429278$

Se acerca bastante a lo que esperaba. Tal vez sea necesario observar macizos más grandes para ver una gran diferencia.

$100,000,000 - 3723447 - 3678470 - 1.0122270933045168$

$200,000,000 - 6877502 - 6797647 - 1.0117473483885233$

Answer 3

Los grupos de números primos de tales ecuaciones cuadráticas deberían comportarse de forma similar a las variaciones en los espacios entre todos los números primos. En general, las funciones más ricas en primos tienen más probabilidades de encontrar grupos. Hay otras cuadráticas que generan rachas de resultados consecutivos que son primos, como:

2n^2 - 272431: primo para n = 371 a 393 (23 seguidos) 2n^2 + 144251: Dos rachas, n = 34 a 50 (17) y n = 583 a 602 (20). n(n+1) - 1776433: Prime para n = 1424 a 1443 (20); mi JVM ha calculado la densidad de primos de éste en unos 8,32 (frente a los ~6,64 de Euler). Sus primos divisores son 41, 59, 97 y 101. Sin embargo, no está ni cerca de los récords de las funciones más ricas.