Dejemos que $\mathcal{C}$ sea una categoría, $\mathcal{P}$ sea un grafo preordenado (es decir, un subgrafo de un preorden), $D\colon\mathcal{P}\to\mathcal{C}$ sea un diagrama. Entonces el diagrama $D$ se llama conmutativo si $D$ se eleva a un functor $F(\mathcal{P})\to C$ , donde $F(\mathcal{P})$ es el preorden libre, generado por $\mathcal{P}$ . Si añadimos inversos a algún conjunto de flechas $S\subset Arr(\mathcal{P})$ a $\mathcal{P}$ es decir, obtenemos un gráfico preordenado $\mathcal{P}_{S}$ y el diagrama $D$ se extiende a un diagrama $D_{S}\colon\mathcal{P}_{S}\to\mathcal{C}$ entonces $D_{S}$ es conmutativo si $D_{S}$ eleva a un functor de una localización $F(\mathcal{P})[S^{-1}]\to\mathcal{C}$ .
Si la imagen $D(Arr(\mathcal{P}))$ consiste sólo en isomorfismos, entonces para cada $S\subset Arr(\mathcal{P})$ el diagrama $D_{S}$ se eleva a un functor $F(\mathcal{P})[S^{-1}]\to\mathcal{C}$ , es decir, a un functor $F(\mathcal{P})[S^{-1}]\to F(\mathcal{P})[\mathcal{P}^{-1}]\to\mathcal{C}[D(\mathcal{P})^{-1}]$ porque en este caso $\mathcal{C}[D(\mathcal{P})^{-1}]=\mathcal{C}$ ¡es una localización trivial!
En realidad, el diagrama $D_S$ siempre se desplaza en $\mathcal{C}[D(\mathcal{P})^{-1}]$ . Por ejemplo, dejemos que $\mathcal{C}=\mathcal{K}(\mathcal{A})$ sea una categoría homotópica de una categoría abeliana $\mathcal{A}$ y $D$ sea un diagrama de cuasi-isomorfismos en $\mathcal{A}$ algunos de los cuales son isomorfismos en $\mathcal{K}(\mathcal{A})$ . Entonces, si añadimos todos los inversores de isomorfismos a este diagrama, entonces conmuta en la categoría derivada $\mathcal{D}(\mathcal{A})$ .
Su diagrama, por supuesto, consiste no sólo en isomorfismos. La localización del grafo libre preordenado, generado por él (con los inversos de los morfismos de identidad en $\mathbf{Ab}$ ) es un gráfico completo de cuatro vértices, por lo que cada $\mathbf{Ab}$ -flecha en la imagen del diagrama original debe ser un isomorfismo, pero no lo son.
