Serie p-adic que converge a dos valores diferentes para dos normas p-adic diferentes

Question

Soy consciente de la definición de p-ádico números, y la noción de convergencia que se aplica.

La tarea que me ha dado es la siguiente:

Encontrar una explícita la secuencia de números naturales que converge a$3$$Q_3$$5$$Q_5$.

Esto es lo que sé : las normas anteriores no son equivalentes, y la prueba está considerando la secuencia de $3^m$, por ejemplo, que converge en una norma y no en la otra.

Todavía soy incapaz de pensar siquiera en una secuencia que converge en ambas normas. Me preguntaba si $15^k$ hace el trabajo, pero no estoy seguro.

Mi última sub-enfoque, para encontrar algo que converge a cero en $Q_3$, pero no en $Q_5$ (cualquier valor distinto de cero va a hacer, por ejemplo,$1$), y viceversa, y, a continuación, a escala tanto por pesos y agregar a ellos para obtener la serie deseada.

Answer 1

¿Por qué conseguir un #% de la %#% de secuencia convergente a $(a_n)$ $0$-adically y a la $3$ $1$-adically? Entonces $5$ hace el trabajo. Para hacer el primero, ¿qué $3+2a_n$ $a_n=3^nb_n$? Si podríamos asegurar que $b_n\in \Bbb Z$ que podría ser bueno...

Answer 2

Esto es solo el teorema del resto chino. Desea, para cada$n$, un entero$z_n$ que satisfaga el par de congruencias simultáneas$z_n\equiv3\pmod{3^n}$ y$z_n\equiv5\pmod{5^n}$. Para$n=1$, por supuesto que$0$ funciona, pero para$n=2$, está en efecto encontrando un número que satisface un módulo de congruencia$9\cdot25=225$.