no hay números primos en un disco en $\mathbb{C}$ con el radio R en $\mathbb{Z}[i]$

Question

Muestran que hay un disco en $\mathbb{C}$ con el radio R, por lo que no hay primes de $\mathbb{Z}[i]$ figuran en el disco.

Yo estaba pensando tomar un disco que no toca (0,0), por ejemplo: $|z-R|+ R

Pero entonces cómo una muestra que este disco no contiene ningún primes en $\mathbb{Z}[i]= \mathbb{Z}+\mathbb{Z}i$.

Answer 1

Basta para mostrar por $R$ un entero positivo.

Deje $P$ ser el producto de todos los $z\in \mathbb{Z}[i]$$0<|z|<4R$.

Deje $D = P + 2R$.

Entonces si $|z-D|<R$,$R<|z-P|<3R$. Por lo $z-P$ es un divisor de a $P$.

Pero, a continuación, $z-P$ divide $z=(z-P) + P$.

Por otro lado, desde $R<|z-P|$, $z-P$ no es una unidad de $\mathbb{Z}[i]$, lo $z$ no es un número primo.

Usted tiene que demostrar, además, que $u(z-P)\neq z$ no es posible para cualquier unidad de $u\in \mathbb{Z}[i]$, pero que no es difícil.

Como se señaló anteriormente, $|z-P|<4R$.

Por otro lado $|z| + R \geq |z| + |z-D| \geq |D| \geq |P| - 2R$. Por lo $|z|\geq |P|-3R$.

Ya que es fácil demostrar que $|P|\geq 81R^4>7R$, podemos ver que $|z|>4R$. Por lo $z$ no es una unidad veces $z-P$.