ciclotómicas campo automorphism

Question

$\mathbb F_9$ $8^{th}$ cyclotomic campo en $\mathbb F_3$. Mi problema es, que el $8^{th}$ cyclotomic polinomio factores en $2$ (distinta) de los factores de $f$$g$, lo que significa, que no es $\mathbb F_3$-automorphism de $\mathbb F_9$, el cual se asigna un cero de $f$ a un cero de $g$.

Mi pregunta es, ¿por qué sucede esto? A primera vista me habría imaginado que podríamos trazar una primitiva $8^{th}$ raíz de la unidad a otro, sólo por $\zeta\mapsto\zeta^{k}$. ¿Cuál es el problema con esta asignación? (No estoy preguntando por qué el orden de los 3 en $\mathbb Z/8\mathbb Z$ no $\phi(8)$ :), solo espero conseguir algo de intuición).

Answer 1

Deje $\zeta$ ser una primitiva $8$-ésima raíz de la unidad en una extensión de $\Bbb F_3$, y deje $K=\Bbb F_3(\zeta)$ (por lo $K=\Bbb F_9$). El Frobenius automorphism $\phi$ mapas de $x\mapsto x^3$$K$. La primitiva $8$-th raíces de la unidad en la $K$ $\zeta$, $\zeta^3$, $\zeta^5$ y $\zeta^7$, y $\phi(\zeta)=\zeta^3$, $\phi(\zeta^3)=\zeta$, $\phi(\zeta^5)=\zeta^7$ $\phi(\zeta^7)=\zeta^5$ . Se dividen en dos órbitas bajo la acción de $\phi$. Considere la posibilidad de $$f_1(X)=(X-\zeta)(X-\zeta^3)=X^2-(\zeta+\phi(\zeta))X+\zeta\phi(\zeta).$$ Sus coeficientes son estables bajo $\phi$, por lo que yacen en $\Bbb F_3$. Del mismo modo con $$f_2(X)=(X-\zeta^5)(X-\zeta^7).$$ A continuación, el $8$-th cyclotomic polinomio es $$\Phi_8(X)=(X-\zeta)(X-\zeta^3)(X-\zeta^5)(X-\zeta^7)=f_1(X)f_2(X)$$ y es un producto de dos irreductible cuadráticas $\Bbb F_3$.

Para que haya un automorphism de $K$$\zeta\mapsto\zeta^m$, es necesario que $\zeta^m=\zeta^{3^l}$ algunos $l$, pero este no puede suceder por $m=5$ o $7$. No existe un "mapa" $\zeta\to\zeta^5$ en $K$.

En general, considere la posibilidad de $\Phi_n(X)$$\Bbb F_p$$p\nmid n$. El polinomio mínimo de a $\zeta$, un primitivo $n$-ésima raíz de la unidad, le han pedido a $k$ donde $k$ es el orden de $p$$(\Bbb Z/n\Bbb Z)^*$.