Cómo es una ecuación diferencial de calor parcial con un término de flujo

Question

Considere una varilla de metal, con $K=1$ y una longitud de $\pi$ .

En sus extremos, no hay transmisión de calor con el ambiente, de acuerdo a la siguiente ecuación diferencial: $$u_t(x,t)=u_{xx}(x,t)-hu(x,t),$$ con $h>0$.

Los extremos de la varilla se han fijado las temperaturas de $0^\circ C$ a la izquierda, y $1^\circ C$ a la derecha. La temperatura inicial de la barra es la función: $$f(x)=x(\pi-x).$$

Encontrar la distribución de la temperatura, $u(x,t)$ en la barra.

Podría alguien por favor me explique cómo empezar? Nunca he visto algo como esto (con un $hu(x,t)$ agregado o a partir de la ecuación). Estoy muy atascado.

Gracias de antemano y lo siento por mi inglés no es mi idioma natural.

Answer 1

Parece que sabes cómo resolver la ecuación del calor "habitual", $ut=u{xx}$ por separación de variables. ¿Es esto correcto? Si es así, proceder en la misma forma como lo hizo antes, es decir, dejar $u(x,t)=X(x)T(t)$.

El problema de valor propio será igual que antes, pero el problema temporal se verá como ${T'\over T}+h=-\lambda$.