¿Cuál es el cono de la sección cónica?

Question

Dada la ecuación general (de valor real) de un sección cónica : $$ A x^2 + B xy + C y^2 + D x + E y + F = 0 $$ Entonces, ¿cuál es el circular ¿conos asociados a él? ¿Es único? ¿Y hay una manera de derivar su ecuación, expresada en $(A,B,C,D,E,F)$ y $(x,y,z)$ ? He hecho algunos deberes aquí y aquí , pero no fue capaz de extraer un método sencillo para encontrar el cono o los conos, dada la sección cónica.

Answer 1

Sugerencia de @Jyrki a tener en cuenta Esferas de Dandelin es la clave. Es posible (incluso fácil) construir una familia de esferas de Dandelin a partir de una cónica concreta, y éstas dan la familia de conos que buscas.

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Tomemos el caso de una elipse. Viendo el plano de la curva de canto, colapsamos visualmente la elipse hasta su eje mayor $\overline{PQ}$ . Sea $F$ y $F^\prime$ sean los focos.

Elija cualquier $R$ tal que $\overline{RF}\perp\overline{PQ}$ y dibujar el círculo a través de $F$ con centro $R$ . Este círculo es la intersección de una esfera de Dandelin con el plano perpendicular a la elipse por su eje mayor.

Dibuja círculos sobre $P$ y $Q$ a través de $F$ para determinar los puntos $S$ y $T$ en $\bigcirc R$ . Necesariamente, $\overleftrightarrow{PS}$ y $\overleftrightarrow{QT}$ son tangentes al círculo. Sea $C$ sea el punto de encuentro de estas líneas.

El círculo de $\triangle PQC$ es nuestro otro "círculo de Dandelin".

A partir de aquí, vemos que $C$ es el vértice del cono que buscamos. (Si las líneas tangentes son paralelas, entonces $C$ es el "punto en el infinito" y nuestro cono es en realidad un cilindro). Esas líneas tangentes son las intersecciones del cono con el plano perpendicular. Así, obtenemos una familia de tales conos basada en el parámetro-punto $R$ .

Encontrar la ecuación de la familia de conos debería ser relativamente sencillo para una elipse en "posición estándar". Para una elipse general, serán útiles algunas transformaciones de coordenadas. Las parábolas y las hipérbolas se tratan de forma similar.

Answer 2

Mi intento.   Intentar encontrar una solución analítica. A partir de la Secciones cónicas artículo como se ha mencionado.
Tenemos dos conjuntos de seis variables: la conocida $(A,B,C,D,E,F)$ para la sección cónica y la incógnita $(\phi,\alpha,\gamma,p,q,h)$ para el cono. También tenemos seis ecuaciones y tres de ellas ya han sido resueltas en el artículo: $$ \tan{2\gamma} = \frac{B}{A - C} \\ \cos(\alpha) = \sqrt{\sqrt{B^2 + (A-C)^2}} \\ \cos(\phi) = \sqrt{\frac{(A+C) + \sqrt{B^2 + (A-C)^2}}{2}} $$ Así que nos quedan otras tres ecuaciones -ver artículo- y tres incógnitas $(p,q,h)$ : $$ D = - 2 A\,p - B\,q + \sin(2\alpha)\cos(\gamma)\,h \\ E = - B\,p - 2 C\,q + \sin(2\alpha)\sin(\gamma)\,h \\ A p^2 + B p q + C q^2 + D p + E q + F = h^2 \left[ \cos^2(\phi) - \sin^2(\alpha) \right] $$ De los dos primeros encontramos, con $h$ como la única incógnita que queda: $$ p = \frac{- 2 C \sin(2\alpha)\cos(\gamma)\,h + B \sin(2\alpha)\sin(\gamma)\,h - B E + 2 C D}{-B^2+4 A C}\\ q = \frac{2 A \sin(2\alpha)\sin(\gamma)\,h - 2 A E - \sin(2\alpha)\cos(\gamma)\,h B + D B}{-B^2+4 A C} $$ Sustitución de $p(h)$ y $q(h)$ en la tercera ecuación da una ecuación cuadrática en $h$ que se puede resolver, en principio. MAPLE lo hace en una o dos páginas, pero no me parece un placer ni instructivo reproducirlas aquí. A eso me refería con que no es "un método sencillo"; de ahí la respuesta aceptada.

Answer 3

El cono no es ciertamente único. Por ejemplo, un círculo se obtiene cortando un cono con un plano perpendicular al eje del cono. Pero se podría obtener el mismo círculo cortando un cono que tenga un ángulo de vértice menor con un plano más alejado del vértice (o como se llame propiamente).

Se podría pedir una ecuación con un parámetro, dando una familia de conos, pero eso se me escapa ahora mismo.