Suma de Riemann de $e^x$

Question

Entiendo el cómo a la suma del área bajo $e^x$ de, digamos, $[0,1]$ - pero ¿cómo suma de $[-1,1]$?

Answer 1

Para la izquierda sumas de Riemann, evaluar $e^x$$x=-1+\frac{2k}{n}$$k=0$$n-1$.

El mismo método que utilizó para$[0,1]$, luego obras, para que podamos tomar las $e^{-1}$ "".

Agregado: Si utilizamos la izquierda suma de Riemann se mencionó anteriormente, queremos $$\lim_{n\to\infty}\frac{2}{n}\sum_{k=0}^{n-1} e^{-1+2k/n}=e^{-1}\lim_{n\to\infty}\frac{2}{n}\sum_{k=0}^{n-1}e^{2k/n}.$$ El interior de la suma de una serie geométrica con razón común $e^{2/n}$. Suma en la forma habitual, nos encontramos con que queremos $$e^{-1}\lim_{n\to\infty}\frac{2}{n}\frac{e^2-1}{e^{2/n}-1}.$$ Necesitamos evaluar $$\lim_{n\to\infty}\frac{2}{n}\frac{1}{e^{2/n}-1}.$$ Una forma es hacer que la sustitución de $\frac{2}{n}=t$. Así que queremos que $\lim_{t\to 0^+}\frac{t}{e^t-1}$.

Hay varias maneras de evaluar este límite, tales como L'Hospital de la Regla. El límite es de $1$. Por lo tanto la necesaria integral de Riemann es $e^{-1}(e^2-1)$.

Answer 2

Es necesario calcular la suma de Riemann $[-1,0]$ como ya tienes la otra respuesta. Pero $e^{-x}=\frac{1}{e^x}=\frac{1}{e}^x$, por lo que podrá aplicar el mismo procedimiento a éste como lo hicieron antes.