¿Contraejemplo de Fubini?

Question

Estoy tratando de llegar a una función medible en $[0,1]^2$ que no es integrable, pero tal que las integrales iteradas son definidas y desiguales.

Se agradecería cualquier ayuda.

Answer 1

Consideremos las integrales dobles $$I:=\int_0^1\int_0^1{y-x\over(2-x-y)^3}\ dy\ dx\ ,\qquad J:=\int_0^1\int_0^1{y-x\over(2-x-y)^3}\ dx\ dy\ .$$ Entonces $$\int_0^1{y-x\over(2-x-y)^3}\ dy={y-1\over(2-x-y)^2}\Biggr|_{y=0}^1={1\over(2-x)^2}\ .$$ De ello se desprende que $$I=\int_0^1 {dx\over(2-x)^2}={1\over 2-x}\Biggr|_0^1={1\over2}\ .$$ Del mismo modo, se obtiene $J=-{1\over2}\ne I$ .

Answer 2

$$\int_0^1\int_0^1 \frac{x^2-y^2}{(x^2+y^2)^2} \,dy\,dx \ne \int_0^1\int_0^1 \frac{x^2-y^2}{(x^2+y^2)^2} \,dx\,dy$$

Obviamente cualquiera de estos es $-1$ por la otra y si esta función fuera absolutamente integrable, entonces serían iguales, por lo que su valor sería $0$ . Pero uno es $\pi/2$ y el otro es $-\pi/2$ como se puede comprobar con los métodos de cálculo de primer año.