Dirichlet de la serie L asociado a un periódico de la secuencia

Question

Deje $\{a_n\}$ ser una secuencia de números complejos tales que $a_n=a_m $ fib $ n\equiv m \mod q$ para algún entero positivo $q$. Definir el Dirichlet de la serie L asociada a $\{a_n\}$ por

$$L(s)=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{a_n}{n^s} \ \ \ \text{ for Re}(s)>1. $$

También se definen $$Q(x)=\sum_{m=0}^{q-1}a_{q-m} e^{mx}\ \ \ \text{ with }\ \ a_0=a_q.$$

Me mostró que $$ L(s)=\frac{1}{\Gamma(s)}\int_{0}^{\infty}\frac{P(x)x^{m-1}}{e^{qx}-1}dx, \ \ \text{Re}(s)>1 $$

Ahora quiero mostrar que la $L(s)$ es de continuación en el plano complejo, con la única posible singularidad de un polo a $s=1$.

Yo follwed la sugerencia en la anterior pregunta, por lo que el $$L(s)=\frac{1}{\Gamma(s)}\int_{0}^{\infty}\frac{(Q(x)-Q(0))x^{s-1}}{e^{qx}-1}dx+\frac{1}{\Gamma(s)}\int_{0}^{\infty}\frac{Q(0)x^{s-1}}{e^{qx}-1}dx$$ He encontrado que el segundo término es igual a $Q(0)\zeta (s)/q^s$, que es meromorphic excepto un poste en$s=1$$Q(0) \neq 0$. Os quiero mostrar que el primer término es todo en todo el avión. Pero, ¿cómo puedo mostrar?

Answer 1

Si no me equivoco, ni la integral converge al $\text{Re }s\leq 1$, y debería ser reemplazado por

$$\frac{1}{(1-e^{2\pi i s})\Gamma(s)} \int_C$$

donde $C$ es el ojo de la cerradura de contorno. (Independientemente de si estoy en lo correcto acerca de la convergencia, este es un procedimiento válido.) Los polos de $\Gamma(s)$ cancelar los ceros de $1-e^{2\pi i s}$ a los enteros negativos. En los enteros positivos, la integral sobre la $C$ se desvanece porque el integrando tiene ningún polo en $0$ y las dos piezas más de la real positivo de la línea de cancelar los unos a los otros; así que en los enteros positivos, los polos de $(1-e^{2\pi i s})^{-1}$ son anulados por la desaparición de la integral.

Así pues, la cuestión se reduce a mostrar que la integral sobre la $C$ es holomorphic (olvide el factor de $\frac{1}{(1-e^{2\pi i s})\Gamma(s)}$). Con el fin de hacer esto, de aproximar el contorno de $C$ por una secuencia $C_n$ compacto de contornos (digamos, cortando el contorno en $n$), indicando que la secuencia de holomorphic funciones de $\int_{C_n}$ converge uniformemente a toda la integral de la $\int_C$. A continuación, utilice el hecho de que un límite uniforme de holomorphic funciones de holomorphic.