¿Por qué el álgebra de cuaterniones es 4d y no 3d?

Question

¿Por qué el álgebra de cuaterniones es 4D y no 3D? El álgebra compleja es 2D y lo que se conoce como álgebra de cuaterniones salta a 4D.

$ i^2 = j^2 = k^2 = ijk = -1 $

Utilizando $1, i, j,$ y $k$ como base (donde los usos complejos $1$ y $i$ (o $j$ si es un EE)) lo que da lugar a un espacio de 4 ejes. ¿Por qué no hay álgebra 3D?

Answer 1

Sólo hay cuatro álgebras de división normadas (álgebras en las que es posible la división por elementos distintos de cero) sobre los reales: los propios reales, los números complejos, los cuaterniones y una extraña álgebra (alternativa pero no asociativa) llamada octonión.

La razón por la que las dimensiones están en la progresión geométrica 1, 2, 4, 8 es que pueden derivarse de aplicar repetidamente la construcción Cayley-Dickson, que duplica la dimensión en cada paso. Esto explica la ausencia de la dimensión 3.

Por lo general, a medida que se sube o baja en la escala de Cayley-Dickson se pierden propiedades (así como se ganan algunas). De los reales a los números complejos se pierde el orden; al pasar a los cuaterniones se pierde la conmutatividad; al pasar a los octoniones se pierde la asociatividad; al pasar a los sedoniones se deja de ser alternativa o un álgebra de división.