Es el cambio de una función continua "(pointwise) proceso continuo"

Question

$\def\R{\mathbb R}$Si $f\colon \R\to\R$ es una función continua y $(x_n)$ es una secuencia tal que $\lim_{n\to\infty}x_n = 0$, entonces es cierto que la secuencia de funciones de $y_n = f(\cdot+x_n)$ ha pointwise límite de $f$? Obviamente $y_n$ no es un uniforme convergente secuencia de funciones, por ejemplo,$f(x) = x^2$, y tomará las $(x_n)$$x_n\to 0$.

Sospecho que es cierto. Este ha estado molestando toda la mañana.

Answer 1

Sí, $f$ es continua, por tanto $\lim_{n \to \infty} f(x + x_n) = f( \lim_{n \to \infty} x + x_n) = f(x)$.