$L_2$ es de primera categoría en $L_1$ (Rudin Ejercicio 2.4 b)

Question

Nos referimos aquí a $L_2$, e $L_1$ los habituales espacios de Lebesgue en la unidad de intervalo. Es el ejercicio 2.4 de Rudin. Hay varias maneras de demostrar que $L_2$ es denso en ninguna parte en $L_1$.

Pero en (b) se les pide que muestren que

$$\Lambda_n(f)=\int fg_n \to 0$$

donde $g_n = n$ $[0,n^{-3}]$ y 0 en caso contrario, tiene por $L_2$, pero no para todos los $L_1$. Apparantly esto implica que $L_2$ es de la primera Categoría, pero no sé cómo. Segundo, puedo demostrar que esto representa para $L_2$ pero no puedo encontrar un contraejemplo en $L_1$.

Teorema 2.7 en Rudin dice:

Deje $\Lambda_n:X\to Y$ una secuencia de continuo lineal asignaciones ($X,Y$ topológicos, espacios vectoriales)
Si $C$ es el conjunto de todos los $x\in X$ que $\{\Lambda_n x\}$ es de Cauchy en $Y$, y si $C$ es de la segunda Categoría, a continuación,$C=X$.

Así que si nos encontramos con un $f\in L_1$ tal que $\Lambda_n(f)$ no es de Cauchy, entonces hemos demostrado que la $L_2\subset C \subset L_1$ es de la primera categoría. Sin embargo yo no veo por qué mostrando que $\Lambda_n(f)$ no converge a 0 para algunas $f\in L_1$ es suficiente aquí.

Me estoy perdiendo algo?

Answer 1

La más simple de las funciones en $L_1 \setminus L_2$$f_\alpha \colon x \mapsto x^\alpha$$-1 < \alpha \leqslant -\frac12$.

Computación $\int fg_n$ tal $f_\alpha$ rendimientos

$$\begin{align} \int f_\alpha g_n &= n\int_0^{n^{-3}} x^\alpha\,dx \\ &= \frac{n}{1+\alpha}n^{-3(1+\alpha)}\\ &= \frac{n^{-2-3\alpha}}{1+\alpha}. \end{align}$$

Vemos que la secuencia de las integrales no converge a $0$ fib $-2-3\alpha \geqslant 0 \iff \alpha \leqslant -\frac23$.

Respecto a la segunda parte, la elección de $-1 < \alpha < -\frac23$ da $f\in L_1$$\Lambda_n(f) \to \infty$, lo $\Lambda_n(f)$ ciertamente no es una secuencia de Cauchy. La elección de $\alpha = -\frac23$ da $f\in L_1$ tal que $\Lambda_n(f)$ es constante, por lo tanto, una secuencia de Cauchy, pero no converge a $0$.

Ahora, si $L_2$ eran de la segunda categoría en $L_1$, entonces el hecho de que $\Lambda_n(f) \to 0$ todos los $f\in L_2$ implicaría que $\Lambda_n(f) \to 0$ todos los $f\in L_1$, por parte $(b)$ del teorema 2.7. Pero recogiendo $\alpha < -\frac23$ para obtener una $f\in L_1$ tal que $\Lambda_n(f)$ no es una secuencia de Cauchy parece preferible, ya que es más directo.