Demostrando que esta función es diferenciable en $1$

Question

Defina $h(x) = 1$ excepto en $1$ donde $h(1) = 0$. También defina $H(x) = \int_0^x h(t)$. Ahora intenté mostrar que $H$ es diferenciable en $1$. Mi prueba consiste en calcular $$ \lim_{x \to 1^-} {H(1) - H(x)\over 1-x} = 1$$ y $$ \lim_{x \to 1^+} {H(x) - H(1)\over x-1} = 1$$

Por lo tanto, $H$ es diferenciable en $1$ y $H'(1) = 1$. ¿Es correcto?

Answer 1

La pregunta dice: "Usé la definición de derivada para demostrar que $H'(1)=1$. Por lo tanto, $H'(1)=1". ¿Es correcto?"

Sí, es correcto. Si puedes demostrar que $H'(1)=1$, entonces se sigue que $H'(1)=1.

Como mfl señaló, $H(x)=x$ para todo $x$.