Mostrar que $g(a) = g(b) = 0,\ \int_a^b f(x)g(x)dx=0 $ implica $f(x)=0$

Question

Supongamos $f$ es continua en a $[a, b]$, si para cada función continua $g$$[a, b]$$g(a) = g(b) = 0, \int_{a}^{b}f(x)g(x) dx = 0$, Mostrar $f(x) = 0, \forall x \in [a, b]$,

Quiero demostrar por contradicción, y, a continuación, encontrar una continua $g$ tal que $g(a) = g(b) = 0$ pero $\int_{a}^{b}f(x)g(x) dx \neq 0$

Prueba: Supongamos por contradicción que $f(x) > 0 $ algunos $x_0 \in [a, b]$. Desde $f$ es continua, $\exists \delta$ tal que $f(x) > 0, \forall x \in [x_0 - \delta, x_0 + \delta]$. Tomar $g(x) = \begin{cases} 0 & \text{ if } x \in (a, x_0 - \delta) \cup (x_0+\delta, b) \\ -(x - x_0 - \delta)(x - x_0 + \delta) & \text{ if } x \in (x_0 - \delta, x_0 + \delta) \end{casos}$

Ahora quiero mostrar que desde $g$ es continua en a $[a, b]$, entonces es integrable. Por lo tanto $\int_{a}^{b} g(x) dx = sup L(g, p)$. Sin embargo, desde la parte inferior de la suma es $> 0$, se deduce que el supremum también es $> 0$. Por lo tanto,$\int_{a}^{b} > 0$. Una contradicción. Sin embargo, no sé cómo demostrar que $L(g, p) > 0$

Answer 1

Deje $g(x)=f(x)(x-a)(b-x)$ A continuación, $$\int_a^b f(x)^2 (x-a)(b-x) dx =0 $$ Tenga en cuenta que $$f(x)^2 (x-a)(b-x)\geq 0,\ (x-a)(b-x) > 0\ (x\in (a,b))$$

Si para algunos $x\in [a,b]$, $f(x)\neq 0$ entonces a partir de la $f$ es continua, existe un cerrado conjunto $x\in [s,t]$ : $$ f(x)^2\geq c > 0\ {\rm on}\ [s,t] \subseteq [a,b]$$

Por lo tanto $$ \int_a^b f(x)^2 (x-a)(b-x) dx \geq \int_s^t c (x-a)(b-x) dx > 0 $$ Para la contradicción.

Answer 2

La elaboración de N. S. del comentario, si $f$ no es cero en algún $x_0 \in [a,b]$, entonces es distinto de cero en algunos región $[x_0- \delta , x_0 + \delta ]$. WLOG tome $f > 0$ en esta región.

A continuación encontrará una $g$ s.t. $g(a) = g(b) = 0$ pero $g(x) > 0$ $ \forall x \in [x_0-\delta,x_0+\delta]$ (pensar en la definición de $g$ a trozos).

Además, hacer $g$ distinto de cero sólo en esta región (es decir, $g \geq 0$ en todas partes, pero $g >0$$[x_0-\delta,x_0+\delta]$.

Si $ x-\delta < a$ o $ x+ \delta >b$, luego nos tomamos un pequeño valor de $\delta$. La parte final es mostrar que la integral no es cero, pero esto no debería ser difícil de hacer (pensar en encontrar el área o en términos de funciones de paso).

Answer 3

Supongamos que existe una $n$ tal que $f(n) = a$, $a \neq 0$. Desde $f$ es continua, vamos a $E$ ser el intervalo abierto alrededor de $n$ donde $E \subset [a,b] $.

Deje $E1$ ser el intervalo abierto alrededor de $n$ tal que $sgn(e) = sgn(n) \forall e\in E1 \subset E$.

Deje $E2 \subset E1$.

Vamos $E2 = (c_2, d_2)$, $E1 = (c_1, d_1)$.

Construcción$g$, de modo que $g(x) = f(x)$ $x \in E1$, $g(x) = 0$ para $[a,b] \cap E2'$, e $g(x)$ conecta las partes de forma continua en las $E1 \cap E2'$.

Una vez que tienes eso, entonces debe ser trivial. Su integrando será todo un signo de $E1$ y la no-cero, y cero en todas partes, lo que significa que su integral será distinto de cero.

EDITAR:

Voy a seguir adelante y el intento de construir $g(x)$ $[c_1,c_2]$ $[d_2, d_1]$ explícitamente.

$g(x) = f(x)* |\frac{x-c_1}{c_2-c_1}|$ $x \in [c_1,c_2]$ , e $g(x) = f(x)*|\frac{x-d_1}{d_2-d_1}|$.

Answer 4

Contador de ejemplo: $f(x)= const$, $g(x)=sin(x) $, $a=0, b=2 \pi$.

Directa de los cálculos muestran que $\int_{0}^{2\,\pi }f(x) \; \mathrm{sin}\left( x\right) dx =0$.

Por lo que necesita más restricciones.

Answer 5

Voy a cambiar el nombre de la $x_0$ definida a $c \in [a, b]$.

Deje $p$ ser la partición de $(x_0 < x_1 < x_2 < x_3) = (a < c - \frac{\delta}{2} < c + \frac{\delta}{2} < b)$.

En los intervalos de $[x_0, x_1]$$[x_2, x_3]$, $g$ se desvanece o ambas $f$ $g$ son positivos, por lo que $$ \inf_{x \in [x_0, x_1]} f(x)g(x) = \inf_{x \in [x_2, x_3]} f(x)g(x) = 0. $$

En el intervalo de $[x_0 - \frac{\delta}{2}, x_0 + \frac{\delta}{2}]$ ambos $f$ $g$ son estrictamente positivos, por lo que $$ \inf_{x \in [x_1, x_2]} f(x)g(x) > 0. $$ Sumando sobre todos los subintervalos da $$L(fg, p) = \delta \inf_{x \in [x_1, x_2]} f(x)g(x) > 0$$

así que, necesariamente, $\sup_p L(fg, p)$ > 0.