Verificación de la solución: Encontrar las trayectorias ortogonales de la familia de curvas para $x^2 + 2y^2 = k^2$

Question

Necesito ayuda con la siguiente pregunta:

Encuentra las trayectorias ortogonales de la familia de curvas para $x^2 + 2y^2 = k^2$

He realizado los siguientes pasos, ¿son correctos? Por lo que he entendido, tengo que dar los siguientes pasos

1. Primero diferenciar para encontrar la ecuación diferencial
2. Entonces escriba la ecuación diferencial en este $$\frac{dy}{dx} = -\frac{1}{f(x,y)}$$
3. A continuación, resuelve la nueva ecuación.

Así que esto es lo que tengo:

El primer paso es diferenciar con respecto a $x$ así que encuentra $\frac{dy}{dx}$ .

\begin {align} \frac {dy}{dx} x^2 + \frac {dy}{dx} 2y^2 &= \frac {dy}{dx}k^2 \\ 2x + \frac {dy}{dx} \cdot 4y &= 0 \\ \frac {dy}{dx} &= - \frac {x}{2y} \end {align}

Ahora, el segundo paso es hacer el recipricol negativo.

$$\frac{dy}{dx} = \frac{2y}{x}$$

El tercer paso consiste en resolver la ecuación diferencial recién formada.

\begin {align} dy \frac {1}{2y} &= \frac {1}{x} dx \\ \int \frac {1}{2y} dy &= \int \frac {1}{x} dx \\ \frac { \ln {y}}{2} &= \ln {x} + C \\ \ln y &= 2 \ln x + C \\ \ln y &= \ln x^2 + C \\ y &= Ax^2 \quad \end {align}

En este caso, $A = e^C$ . ¿Son correctos mis pasos?

Muchas gracias por su ayuda.

EDITAR:

He encontrado un pequeño error en los últimos pasos al multiplicar los dos. Debería ser:

\begin {align} \ln y &= 2( \ln x + C) \\ \ln y &= 2 \ln x + 2C \\ e^{ \ln y} &= e^{ \ln x^2 + 2C} \\ y &= x^2 \cdot e^{2C} \\ \end {align}

Aquí, dejamos que $A = e^{2C}$ y decir que la respuesta final es $$y = Ax^2$$

Answer 1

De la familia de las elipses $$x^2+2y^2=k^2 ......(1)$$ has obtenido la familia de parábolas $$y=Ax^2......(2)$$

Configuración $x=Y\sqrt{2}$ y $y=X/\sqrt{2}$ en (1), obtenemos:

$$2Y^2+X^2=k^2 ......(3)$$

Así obtenemos otra familia de parábolas $$Y=B_1X^2......(4)$$ Lo que equivale a $$x=By^2......(5)$$

Esto se debe a que la familia original de curvas es simétrica en el intercambio $x$ y $y\sqrt{2}$ .