Necesito ayuda con la siguiente pregunta:
Encuentra las trayectorias ortogonales de la familia de curvas para $x^2 + 2y^2 = k^2$
He realizado los siguientes pasos, ¿son correctos? Por lo que he entendido, tengo que dar los siguientes pasos
- Primero diferenciar para encontrar la ecuación diferencial
- Entonces escriba la ecuación diferencial en este $$\frac{dy}{dx} = -\frac{1}{f(x,y)}$$
- A continuación, resuelve la nueva ecuación.
Así que esto es lo que tengo:
El primer paso es diferenciar con respecto a $x$ así que encuentra $\frac{dy}{dx}$ .
\begin {align} \frac {dy}{dx} x^2 + \frac {dy}{dx} 2y^2 &= \frac {dy}{dx}k^2 \\ 2x + \frac {dy}{dx} \cdot 4y &= 0 \\ \frac {dy}{dx} &= - \frac {x}{2y} \end {align}
Ahora, el segundo paso es hacer el recipricol negativo.
$$\frac{dy}{dx} = \frac{2y}{x}$$
El tercer paso consiste en resolver la ecuación diferencial recién formada.
\begin {align} dy \frac {1}{2y} &= \frac {1}{x} dx \\ \int \frac {1}{2y} dy &= \int \frac {1}{x} dx \\ \frac { \ln {y}}{2} &= \ln {x} + C \\ \ln y &= 2 \ln x + C \\ \ln y &= \ln x^2 + C \\ y &= Ax^2 \quad \end {align}
En este caso, $A = e^C$ . ¿Son correctos mis pasos?
Muchas gracias por su ayuda.
EDITAR:
He encontrado un pequeño error en los últimos pasos al multiplicar los dos. Debería ser:
\begin {align} \ln y &= 2( \ln x + C) \\ \ln y &= 2 \ln x + 2C \\ e^{ \ln y} &= e^{ \ln x^2 + 2C} \\ y &= x^2 \cdot e^{2C} \\ \end {align}
Aquí, dejamos que $A = e^{2C}$ y decir que la respuesta final es $$y = Ax^2$$
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Sí, tus pasos son correctos.
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Esto tiene buena pinta en general. Una buena confirmación: el origen $\langle 0,0\rangle$ es el centro de la familia de elipses $x^2+2y^2=k^2$ y es el único punto común a la familia de las parábolas $y=Ax^2$ que has encontrado como respuesta final.
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¿Qué tal si $y = 0$ y $x = 0$ ¿líneas? También pertenecen a la familia ortogonal.