Lagrangiana De La Mecánica - Conmutatividad De La Regla De $\frac{d}{dt}\delta q=\delta \frac{dq}{dt} $

Question

Estoy leyendo acerca de la mecánica de Lagrange.

En algún punto de la diferencia entre lo temporal derivado de una variación y la variación de la temporal derivada es discutido.

El hecho de que los dos son el mismo es presentado en el libro que estoy leyendo como una regla, conmutatividad, y la posible no-conmutativa reglas se mencionan también.

No me hago es: dado un camino de $q(t)$ y su variación $\delta q(t)$, la equivalencia entre la variación de la derivada $\delta \dot{q}$ y derivados de la variación $\dot{\delta q}$ me parece un hecho de descender directamente de cálculo, no es una elección arbitraria.

Answer 1

Lo hace seguir de cálculo. Aquí está la manera estándar de esto se trata (no voy a ser explícito acerca de la matemática detalles tales como la suavidad de los supuestos aquí).

Definición de $\delta q$.

Dado un parametrizadas camino de $q:t\mapsto q(t)$, consideramos que una deformación de la ruta que llamamos $\hat q:(t, \epsilon)\mapsto \hat q(t,\epsilon)$ satisfacción $\hat q(t,0) = q(t)$. El parámetro $\epsilon$ es el parámetro de deformación. Ahora podemos definir la variación $\delta q$ de la ruta de $q$ como sigue: \begin{align} \delta q(t) = \frac{\partial\hat q}{\partial \epsilon}(t,0) \tag{%#%#%} \end{align} Para motivar esta definición, el aviso de que podemos Taylor expandir $\star$ $\hat q$ argumento acerca de la $\epsilon$ como sigue: \begin{align} \hat q(t,\epsilon) = \hat q(t,0) + \epsilon \frac{\partial\hat q}{\partial\epsilon}(t,0) + O(\epsilon^2) \end{align} que, a la luz de la definición de $\epsilon=0$ anterior puede escribirse como \begin{align} \hat q(t,\epsilon) = q(t) + \epsilon\delta q(t) + O(\epsilon^2) \end{align} de modo que reconocemos $\delta q$ como el de Taylor de primer orden coeficiente de deformación $\delta q(t)$ cuando se expanda en el parámetro de deformación. Tenga en cuenta que algunos autores de la física en lugar de definir $\hat q$ con un factor adicional de $\delta q$ en el lado derecho de la $\epsilon$, pero esto es sólo una cuestión de convención.

La conmutatividad de la propiedad.

Ahora que hemos definido $(\star)$, frente a la conmutatividad de la $\delta q$ $\delta$- derivados. Bien, ahora que todo es muy explícito, esto es bastante sencillo. En primer lugar, debemos señalar que $t$ es una curva distinta de $\dot q$, por lo que es necesario definir su variación $q$. La manera estándar de hacer esto es para inducir esta variación utilizando la misma deformación $\delta\dot q$. Es decir, definimos \begin{align} \delta\dot q(t) = \frac{\partial^2\hat q}{\partial \epsilon\partial t}(t,0) \tag{%#%#%} \end{align} entonces podemos calcular \begin{align} \frac{d}{dt}\delta q(t) = \frac{d}{d t}\left(\frac{\partial\hat q}{\partial \epsilon}(t,0)\right) = \frac{\partial^2\hat q}{\partial t\partial \epsilon}(t,0) = \frac{\partial^2\hat q}{\partial \epsilon\partial t}(t,0) = \delta\dot q(t) \end{align} cual es el resultado deseado.

La naturalidad de las preguntas.

En cierto sentido, las definiciones de $\hat q$ $\star\star$ son arbitrarias, pero sólo en la medida en que cualquier definición es siempre arbitrario, ya que tenemos que elegir. Ellos son, sin embargo, el estándar y muy físico, si usted me pregunta.

Para obtener la intuición para $(\star)$, considere la posibilidad de $(\star\star)$, e imaginar la fijación de algunos $(\star)$. A medida que varían $\hat q(t,\epsilon)$, se obtiene una curva de $t_*$. La variación $\epsilon$ es la derivada de esta curva con respecto a $\epsilon\mapsto \hat q(t_*, \epsilon)$ evaluado en $\delta q(t_*)$, en otras palabras, es su vector tangente a $\epsilon$ (creo velocidad). Este vector tangente simplemente nos dice que la "dirección" en la que la curva original $\epsilon = 0$ está cambiando a punto de $\epsilon = 0$ como aplicar la deformación. Consulte el siguiente diagrama (que espero es más claro que lo que acabo de decir)

He aquí otra manera de ver que la definición de $q$ es natural que también muestra por qué $t_*$ es natural. En la mecánica clásica, a menudo consideramos un sistema descrito por una acción que es la integral de un local de lagrange; \begin{align} S[q] = \int dt\,L(q(t), \dot q(t), t). \end{align} Ahora, supongamos que queremos determinar lo que sucede a $(\star)$ cuando se deforma el camino de $(\star\star)$. Usando la notación $S[q]$ desde arriba para la deformación, esto equivale a evaluar $q$. Vamos a calcular esta cantidad a la primera orden en epsilon. Nos encontramos con que \begin{align} S[\hat q(\cdot, \epsilon)] &= \int dt\, L\left(\hat q(t,\epsilon), \frac{\partial\hat q}{\partial t}(t,\epsilon), t\right) \\ &= S[q] +\epsilon \int dt\left[\frac{\partial L}{\partial q}(q(t), \dot q(t), t)\delta q(t) + \frac{\partial L}{\partial \dot q}(q(t), \dot q(t), t)\delta \dot q(t)\right] + O(\epsilon^2) \end{align} He omitido algunos de los pasos que aquí, pero el punto es que las cantidades $\hat q$ $S[\hat q(\cdot,\epsilon)]$ que hemos definido en $\delta q$ $\delta\dot q$ surgen de forma natural en el contexto de la toma de la variación de un funcional de la ruta de $(\star)$. En particular, la variación de $(\star\star)$ inducida por la variación de $q$ como se define en $\dot q$ es el objeto que surge naturalmente, no algún otro independiente de la variación.

Sin embargo, ver Qmechanic la respuesta por debajo de la cual señala que en otros contextos, como cuando se utiliza el principio de D'Alembert, las variaciones $q$ $(\star\star)$ no tienen exactamente el mismo significado que en el contexto descrito anteriormente, y en estos contextos, la conmutatividad de la regla no necesita tener.

Answer 2

I) El punto de Ref. 1 es similar a la razón por la generalizada posiciones $q^j$ y las velocidades generalizadas $\dot{q}^j$ en el Lagrangiano $L(q,\dot{q},t)$ son independientes de las variables, véase, por ejemplo, este Phys.SE post. Menos confuso notación sería probablemente para indicar las velocidades generalizadas $v^j$ en lugar de $\dot{q}^j$.

Ref. 1 se refiere a la no-conmutativa posibilidad

$$\tag{1} \delta v^j ~\neq~ \frac{d}{dt}\delta q^j $$

en el contexto de d'Alembert del principio

$$\etiqueta{2} \sum_{i=1}^N(m_i\ddot{\bf r}_i-{\bf F}^{()} _i) \cdot \delta {\bf r}_i~=~0, $$

donde ${\bf r}_i$ son las posiciones de las $i$'th punto de partículas. Aquí $\delta q^j$ $\delta v^j$ son infinitesimales virtual variaciones.

Es consistente para permitir que un no-conmutativa de la regla (1) en el principio de d'Alembert (2). (De hecho, d'Alembert del principio, en su forma básica, (2), no depende de la $\delta v^j$.)

D'Alembert del principio (2) por ejemplo, puede ser usado para demostrar la central ecuación de Lagrange

$$\tag{3} \sum_j\left( \frac{dp_j}{dt} - \frac{\partial T}{\partial q^j}-Q_j \right) \delta q^j~=~0 , \qquad p_j~:=~\frac{\partial T}{\partial v^j},$$

y, a su vez, las ecuaciones de Lagrange de primera clase, sin necesidad de recurrir al principio de acción estacionaria, cf. la siguiente Sección II. Aquí $T$ es la energía cinética y la $Q_j$ es la generalización de la fuerza. Véase también por ejemplo, este Phys.SE la respuesta. Refs. 1 y 2 de reescritura de Lagrange central de la ecuación (3) en el siguiente formulario

$$ \etiqueta{4} \frac{d}{dt}\sum_j p_j\delta p^j ~=~\underbrace{\delta T}_{\sum_j\left(\frac{\partial T}{\partial q^j}\delta p^j+ p_j~\delta v^j\right)} +\sum_j Q_j~\delta p^j +\sum_j p_j\left[\frac{d}{dt} \delta p^j-\delta v^j\right], $$

ver eq. (1.3.39) en la Ref. 1 o eq. (6.4.11) en la Ref. 2. De esta forma (4) también involucra $\delta v^j$.

II) La sección anterior debería ser contrastado con la acción funcional

$$\tag{5} S[q] ~:=~ \int_{t_i}^{t_f}dt \ L(q(t),\dot{q}(t),t)$$

y el principio de acción estacionaria. Aquí $q^j:[t_i,t_f]\to\mathbb{R}$ es un (posiblemente virtual) ruta de acceso. El tiempo derivativo $\dot{q}^j\equiv\frac{dq^j}{dt}$ do dependen de la función de $q^j:[t_i,t_f]\to \mathbb{R}$.

Para derivar de Euler-Lagrange las ecuaciones desde el principio de acción estacionaria, hacemos uso de la propiedad conmutativa de la regla

$$\tag{6} \delta \dot{q}^j ~=~ \frac{d}{dt}\delta q^j $$

en una manera crucial. La propiedad conmutativa de la regla (4) es en este contexto no es negociable, pero sigue directamente de las definiciones pertinentes de los infinitesimales virtual variación

$$\tag{7} \delta q^j~:=~q^{\prime j}-q^j,$$

$$\etiqueta{8} \delta \dot{p}^j~:=~\dot{p}^{\prime j}-\dot{p}^j ~:=~\frac{dq^{\prime j}}{dt}-\frac{dq^j}{dt} ~\stackrel{\text{linealidad}}{=}~\frac{d}{dt}(q^{\prime j}-q^j) ~\stackrel{(7)}{=}~\frac{d}{dt}\delta p^j,$$

entre los dos vecinos de las rutas de $q^j$$q^{\prime j}$.

Referencias:

1. B. D. Vujanovic y T. M. Atanackovic, Una introducción a las modernas técnicas variacionales en la mecánica y la ingeniería, (2004) p.12.

2. A. I. Lurie, Mecánica Analítica (Fundamentos de Ingeniería Mecánica), (2002), la Sección 1.7.