Siguiente Fedja la sugerencia, vamos a $\phi$ ser no negativo de la función de prueba admitidos en $(1,2)$ tal que $\phi=1$$(5/4,7/4)$. Para $b>0$, vamos a $\phi_{b}(x):=\phi(bx)$. Observar que
$$\int_{\mathbb{R}}\phi_{b}(x)e^{1/x}dx=b^{-1}\int_{\mathbb{R}}\phi(x)e^{b/x}dx,\qquad\forall b>0$$
Supongamos que hay una distribución $u\in\mathcal{D}'(\mathbb{R})$ orden $k$ cuya restricción a$\mathbb{R}^{+}$$e^{1/x}$:
$$\left|\langle{u,\psi}\rangle\right|\leq C\sum_{\alpha\leq k}\left\|\partial^{\alpha}\psi\right\|_{\infty},\qquad\forall\psi\in C_{c}^{\infty}(\mathbb{R})$$
y, en particular,
$$\left|\langle{u,\phi_{b}}\rangle\right|\leq C\sum_{\alpha\leq k}\left\|\partial^{\alpha}\phi_{b}\right\|_{\infty}\leq C\sum_{\alpha\leq k}b^{\alpha}\left\|\partial^{\alpha}\phi\right\|_{\infty}\leq Cb^{k}\sum_{\alpha\leq k}\left\|\partial^{\alpha}\phi\right\|_{\infty},\qquad\forall b\geq 1$$
Se puede comprobar que hay una constante $C'>0$ tal que
$$\dfrac{e^{b/x}}{b^{k+1}}\geq C'\dfrac{b}{x^{k+2}},\qquad\forall x>0$$
De dónde,
$$b^{-k}\left|\langle{u,\phi_{b}}\rangle\right|=b^{-k-1}\int_{\mathbb{R}}\phi(x)e^{b/x}dx\geq C' b\int_{1}^{2}\phi(x)x^{-k-2}dx$$
Desde el lado derecho tiende a $\infty$$b\rightarrow\infty$, se obtiene una contradicción.
