¿Por qué es $n_i \frac{\langle \alpha_i , \alpha_i \rangle}{\langle \alpha , \alpha \rangle}$ un número entero?

Question

Estoy atascado en esta pregunta y me gustaría un poco de ayuda.

Pregunta: En un reducido sistema de raíces deje $\alpha= n_1 \alpha_1 + ...+ n_k \alpha_k$ ser una raíz de tal manera que cada $\alpha_i$ es una raíz simple. Mostrar que $$n_i \frac{\langle \alpha_i , \alpha_i \rangle}{\langle \alpha , \alpha \rangle} $$ es un número entero.

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He intentado cosas como escribir

$$n_i \frac{\langle \alpha_i , \alpha_i \rangle}{\langle \alpha , \alpha \rangle} = n_i \frac{2\frac{\langle \alpha , \alpha_i \rangle}{\langle \alpha , \alpha \rangle}}{ 2\frac{\langle \alpha , \alpha_i \rangle}{\langle \alpha_i , \alpha_i \rangle}}, $$

y de alguna manera tratar a la conclusión de que la $\left.2\frac{\langle \alpha , \alpha_i \rangle}{\langle \alpha_i , \alpha_i \rangle}\right| n_i\cdot 2\frac{\langle \alpha , \alpha_i \rangle}{\langle \alpha , \alpha \rangle}$. Pero esto me llevó a ninguna parte.

Answer 1

Podemos suponer que el sistema de raíces es irreductible. El único caso no trivial es cuando $\alpha_i$ es una pequeña raíz y $\alpha$ es una larga raíz.

Cuando hay un doble borde en el diagrama de Dynkin, se observa que el largo de las raíces pertenecen a la aditivo subgrupo generado por largo simple raíces y dos veces simple y corta las raíces. Esto puede ser visto, desde hace mucho tiempo, las raíces son inductivamente creado como suma de dos enteros largos raíces, o una larga raíz plus dos veces una pequeña raíz. La misma posee en el tipo de $G_2$, con 2 sustituido por 3.

Así que, en cualquier caso, uno ha $\|\alpha_i\|^2/\|\alpha\|^2=1/k$, donde $k\in\{2,3\}$, e $k$ divide $n_i$, así que hemos terminado.