Demostrar que la secuencia converge absolutamente

Question

Deje $\{a_n\}$ $\{r_n\}$ dos secuencias de números reales tales que a $\sum_{n=1}^\infty |a_n|< \infty.$ Demostrar que

$$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{a_n}{\sqrt{|x-r_n|}}$$ converge absolutamente para casi todas las $x \in \mathbb{R}$.

¿Alguien puede proporcionar una sugerencia útil para resolver el problema ? Soy incapaz de averiguar cómo lo hace casi todos los $x$ vienen en la imagen. Debo usar algunos de lebesgue la integral ?

Answer 1

Para cualquier acotado medible $A$ $$\int_A\sum_{n=1}^{\infty}\frac{|a_n|}{\sqrt{|x-r_n|}}=\sum_{n\ge 1}\int_A\frac {|a_n|}{\sqrt{|x-r_n|}}<\infty$$ Por lo tanto la suma es finita una.s. Esto puede ser extendido para mostrar una.s. convergencia absoluta de $$\sum_{n=1}^{\infty}a_nf_n(x)$$ para cualquier localmente uniformemente integrable $f_n$.