Estoy tratando de probar la existencia de la $n$ -raíz de un número real positivo en $\mathbb{R}$ y Pugh sugiere hacer esto, en su libro Real Mathematical Analysis, mostrando primero que la función potencia $f(x) = x^n, n \in \mathbb{N}$ es continua.
Por lo tanto, empiezo por demostrar el "lema", es decir, la continuidad utilizando la inducción completa como sigue: Para el caso base de $n = 1$ tenemos $$ \forall \epsilon > 0:\exists \delta=\epsilon \implies |x-a|<\delta \implies |x^1 - a^1|<\epsilon \text{,} $$ entonces para el caso inductivo dejemos $\epsilon',\epsilon > 0 \text{; } \epsilon < 1$ y que $\forall k\in\{1, 2, \ldots, n\}: \exists \delta_k > 0 \implies |x-a|<\delta_k \implies |x^k-a^k|<\epsilon$ Así que miramos $$ |x^{n+1}-a^{n+1}| = |x-a|\cdot\left|\sum_{k=0}^{n}x^{n-k}a^k\right| \\ < \epsilon \cdot \sum_{k=0}^{n}|x^{n-k}a^k|\text{,} $$ donde observamos que $|x^{n-k}a^k| = |x^{n-k}a^k - a^n + a^n| = |(x^{n-k} - a^{n-k})a^k + a^n|$ . Por lo tanto, $|x^{n-k}a^k| \leq |x^{n-k} - a^{n-k}||a|^k + |a|^n$ donde por la suposición inductiva $|x^{n-k}a^k| < \epsilon|a|^k + |a|^n$ .
Por lo tanto, obtenemos $$ |x^{n+1}-a^{n+1}| < \epsilon^2\cdot s_n + \epsilon(n+1)|a|^n\text{,} $$ donde $s_n = \sum_{k=0}^n|a|^k$ y, como $\epsilon < 1$ , $$ |x^{n+1}-a^{n+1}| < \epsilon^2\cdot s_n + \epsilon(n+1)|a|^n < \epsilon(s_n + (n+1)|a|^n) < \epsilon' \text{.} $$ Por lo tanto, $\exists m \in \mathbb{N}$ para que podamos elegir $$ \epsilon = \frac{\epsilon'}{m \cdot (s_n + (n+1)|a|^n)} \leq \frac{\epsilon'}{s_n + (n+1)|a|^n} \qquad and \qquad 0 < \epsilon < 1 \text{.} $$
Por lo tanto, hemos demostrado que existe tal $\delta = \min(\delta_1, \delta_2, \ldots, \delta_n)$ que $|x-a|<\delta \implies |x^{n+1}-a^{n+1}|<\epsilon'$ , lo que completa la prueba de la continuidad.
Ahora, pasando a la prueba de la existencia de la raíz, dejemos $x>0$ y $n\in\mathbb{N}$ y que $$ A = \{r\in\mathbb{R}: r \leq 0 \quad or \quad r^n < x\}\text{.} $$ Entonces $0 \in A$ Así que $A \neq \emptyset$ . Del mismo modo, $(x+1)^n > x$ Por lo tanto, es $x+1$ un límite superior de $A$ Así que $A$ está acotada por encima. Por lo tanto, existe $y=\sup(A)\in \mathbb{R}$ .
Por tricotomía de $\mathbb{R}$ sólo una de las siguientes puede ser cierta:
-
$y^n < x$ : Por continuidad para $\epsilon = x - y^n > 0$ existe $\delta > 0$ para que $\exists \alpha \in(y, y + \delta)$ para lo cual $|\alpha^n - y^n|<\epsilon$ o $\alpha^n < y^n + \epsilon = x$ Por lo tanto $\alpha \in A$ pero $y < \alpha$ por lo que y no es el sumo de $A$ una contradicción.
-
$y^n > x$ : Del mismo modo, para $\epsilon = y^n - x$ existe $\delta > 0$ para que $\exists \alpha \in (y-\delta,y)$ y para el cual $|\alpha^n - y^n|<\epsilon$ o $\alpha > y^n - \epsilon = x$ Por lo tanto $\alpha$ es un límite superior de $A$ pero $\alpha < y$ Así que $y$ no es el supremum de $A$ Lo cual es, de nuevo, una contradicción.
-
y^n = x, que es como se define la raíz n-ésima de x y es la única opción que queda. $\square$
P.D.: Sólo soy un estudiante de primer año de matemáticas, así que aunque tengo algo de experiencia con las matemáticas basadas en pruebas, todavía no soy competente en la redacción de pruebas formales. También soy consciente del hecho de que mi prueba de la continuidad es más o menos "por todo el lugar" sin definir correctamente formalmente algunas de las variables y así sucesivamente, pero creo que usted consigue la idea de la prueba. Estoy bastante seguro de que la prueba es correcta, pero quería algunos comentarios, así como la práctica de mis habilidades LaTeX, así que lo llaman golpear dos pájaros de un tiro.
Gracias por sus comentarios de antemano y me disculpo por cualquier violación de las reglas del foro, ya que soy nuevo en este lugar y mi "pregunta" no es realmente una pregunta más que pedir comentarios y sugerencias.
