¿Ejemplo de punto fijo de un sistema lineal?

Question

Dejemos que $X$ sea una variedad proyectiva normal y $D$ un divisor Cartier en él. Un punto $p\in X$ se llama punto fijo de $|D|$ si $p \in \operatorname{supp}(D')$ para cualquier $D'\in |D|$ . Aquí $|D|$ es el sistema lineal de $D$ definido por $|D|=(H^0(X,O(D))\setminus0)/\mathbb{C}^\times\cong \mathbb{P}^{h^0(X,O(D))-1}$ .

¿Podría alguien darme un ejemplo sencillo de $X$ y $D$ donde el conjunto de puntos fijos de $|D|$ no está vacío?

Answer 1

1. Si $D<0$ entonces cada punto de $X$ es un punto fijo de $|D|=\emptyset$ .

2. Si $X$ es una curva proyectiva suave de género $\ge 1$ entonces para cualquier punto racional $P$ de $X$ , $P$ es un punto fijo de $|P|$ porque si no, existiría una función racional sobre $X$ con sólo un polo simple y esto implicaría que $X$ es la línea proyectiva.

3. Dejemos que $X$ ser como una curva como la anterior. Sea $P\in X$ . Entonces $|2P|$ no tiene punto fijo si y sólo si $P$ es el llamado punto de Weierstrass. En una curva hiperelíptica, son los puntos de ramificación del grado canónico $2$ mapa $X\to \mathbb P^1$ .

4. Dejemos que $f$ sea un mapa racional de $\mathbb P^n$ a $\mathbb P^m$ . Sea $D$ sea el pullback de un hiperplano por $f$ . Entonces $D$ no tiene puntos fijos si y sólo si $f$ se define en todas partes. Así que tomemos por ejemplo f igual a una proyección a un subespacio lineal, entonces $D$ tiene puntos fijos.

Answer 2

Si $X$ es una curva proyectiva suave (por ejemplo, una superficie de Riemann si se trabaja sobre $\textbf C$ ) y $D$ es el divisor de un punto $P\in X$ entonces $|D|$ es sólo $P$ (a menos que $X\cong\textbf P^1$ , en cuyo caso $|D|=\textbf P^1$ ).

Como otro ejemplo, considere este lápiz ( $=$ sistema lineal unidimensional) en el plano proyectivo: para $t$ que van $\textbf P^1$ el divisor correspondiente viene dado por la ecuación $y(x-tz)$ : el $x$ -eje más una "línea vertical". Todos estos divisores se encuentran en el punto del infinito, y no hay ningún otro punto base (aunque el $x$ -(¡el eje aparece en cada divisor!)

Una caracterización útil dice que $|D|$ es libre de punto base si y sólo si $\mathscr O_X(D)$ es generado por sus secciones globales. Del mismo modo, para los sistemas lineales no completos: $\textbf PV^\ast\subseteq |D|$ es libre de punto base si y sólo si $\mathscr O_X(D)$ es generado por las secciones globales en (una base de) $V$ . Traducción: un sistema lineal determina un mapa racional $\psi:X\dashrightarrow \textbf PV^\ast$ y $x\in X$ es un punto base si y sólo si $\psi$ no se define en $x$ (lo que significa que todas las secciones que generan $V$ se desvanecen en $x$ ). Simplemente tome $V=H^0(X,\mathscr O_X(D))$ si sólo te interesan los sistemas lineales completos.

Otro ejemplo de sistema lineal con puntos base: dejemos que $k$ sea el cierre algebraico de $\textbf F_2$ y que $V\subset H^0(\textbf P^2_k,\mathscr O(3))$ ser abarcados por los cúbicos

\begin{equation} x^2y+xy^2,\,x^2z+z^2x,\,y^2z+z^2y. \end{equation}

Entonces el sistema lineal $\textbf PV^\ast$ (que es bidimensional) tiene $7$ puntos base: mira esos puntos en $\textbf P^2_k$ en la que las secciones anteriores se desvanecen simultáneamente, y se encontrará que esto sucede exactamente cuando las coordenadas se encuentran todas en $\textbf F_2$ . Así que el lugar geométrico base aquí es el plano proyectivo finito $\textbf P^2_{\textbf F_2}$ .